Bizonyítás
A korábban már bizonyított 14.13. Tétel szerint egy kommutatív, egységelemes gyűrű, ezért csak a nullosztómentességet kell bizonyítani.
Egy pillanatra térjünk vissza a 13.8. Definícióban bevezetett jelölésekre, amikoris az egész számokat még természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként jelöltük alakban. A 13.11. Definícióban három részre osztottuk az egész számokat: a pozitív egész számokat , a negatív egész számokat , végül a nulla egész számot alakban írtuk fel. Ezt a 13.10. Tétel alapján tehettük meg, amely szerint minden egész szám felírható e három közül valamelyik alakban.
Az egész számok szorzásának 14.3. Definíciója alapján ekkor bármely két nemnulla egész szám szorzata az alábbi két alak valamelyikére hozható, ahol és valamilyen természetes számok:
A 14.1. Lemma alapján nemnulla természetes számok szorzata nem lehet , azaz ebben az esetben . Ebből viszont a 13.10. Tétel alapján az következik, hogy sem , sem pedig nem lehet a nulla egész szám.
Azt kaptuk tehát, hogy nemnulla egész számok szorzata nem lehet a nulla egész szám. Ez a 15.3. Definíció utáni megjegyzés alapján épp azt jelenti, hogy a valóban nullosztómentes.
∎