Bizonyítás

Az $a\leq b$ reláció a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ természetes szám, amelyre teljesül az alábbi:

Az egyenlet mindkét oldalához $c$-t hozzáadva, illetve mindkét oldalt $c$-vel megszorozva ezeket kapjuk:

Tekintve, hogy a 11.8. és a 11.10. Tétel alapján az összeadás kommutatív és asszociatív, továbbá a 12.6. Tétel alapján a szorzás disztributív az összeadásra nézve, emiatt a két egyenlet baloldali átalakíthatók:

Egyrészt létezik tehát olyan természetes szám – nevezetesen $k$ –, amelyet $a+c$-hez adva $b+c$-t kapunk. Másrészt pedig létezik olyan természetes szám is – nevezetesen $kc$ –, amelyet $ac$-hez adva $bc$-t kapunk. Ez a 12.15. Definíció alapján éppen azt jelenti, hogy: