Bizonyítás
Az a\leq b reláció a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan k természetes szám, amelyre teljesül az alábbi:
a+k=b
Az egyenlet mindkét oldalához c-t hozzáadva, illetve mindkét oldalt c-vel megszorozva ezeket kapjuk:
\begin{aligned}(a+k)+c &= b+c \\ (a+k)c &= bc\end{aligned}
Tekintve, hogy a 11.8. és a 11.10. Tétel alapján az összeadás kommutatív és asszociatív, továbbá a 12.6. Tétel alapján a szorzás disztributív az összeadásra nézve, emiatt a két egyenlet baloldali átalakíthatók:
\begin{aligned}(a+c)+k &= b+c \\ ac+kc &= bc\end{aligned}
Egyrészt létezik tehát olyan természetes szám – nevezetesen k –, amelyet a+c-hez adva b+c-t kapunk. Másrészt pedig létezik olyan természetes szám is – nevezetesen kc –, amelyet ac-hez adva bc-t kapunk. Ez a 12.15. Definíció alapján éppen azt jelenti, hogy:
\begin{aligned}a+c &\leq b+c \\ ac &\leq bc\end{aligned}
∎