youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az első egyenlet baloldala az egész számok összeadásának 13.13. Definíciója miatt így írható:

[(a;b)]⊕[(c;d)]=[(a+c;b+d)]=…[(a;b)] \oplus [(c;d)] = [(a+c;b+d)] = \dots

Ebből a természetes számok összeadásának 11.8. Tétel szerinti kommutativitása miatt következik a tétel 1. pontja:

⋯=[(c+a;d+b)]=[(c;d)]⊕[(a;b)]\dots = [(c+a;d+b)] = [(c;d)] \oplus [(a;b)]

Ehhez hasonlóan a 2. pontban megfogalmazott asszociativitás pedig a természetes számok összeadásának 11.10. Tétel szerinti asszociativitására vezethető vissza az alábbiak szerint:

([(a;b)]⊕[(c;d)])⊕[(e;f)]==[(a+c;b+d)]⊕[(e;f)]==[((a+c)+e;(b+d)+f)]==[(a+(c+e);b+(d+f))]==[(a;b)]⊕[(c+e;d+f)]==[(a;b)]⊕([(c;d)]⊕[(e;f)])\begin{aligned} ([(a;b)] \oplus [(c;d)]) \oplus [(e;f)] = \\ = [(a+c;b+d)] \oplus [(e;f)] = \\ = [((a+c)+e;(b+d)+f)] = \\ = [(a+(c+e);b+(d+f))] = \\ = [(a;b)] \oplus [(c+e;d+f)] = \\ = [(a;b)] \oplus ([(c;d)] \oplus [(e;f)]) \end{aligned}

∎