Bizonyítás
Az első egyenlet baloldala az egész számok összeadásának 13.13. Definíciója miatt így írható:
[(a;b)] \oplus [(c;d)] = [(a+c;b+d)] = \dots
Ebből a természetes számok összeadásának 11.8. Tétel szerinti kommutativitása miatt következik a tétel 1. pontja:
\dots = [(c+a;d+b)] = [(c;d)] \oplus [(a;b)]
Ehhez hasonlóan a 2. pontban megfogalmazott asszociativitás pedig a természetes számok összeadásának 11.10. Tétel szerinti asszociativitására vezethető vissza az alábbiak szerint:
\begin{aligned}
([(a;b)] \oplus [(c;d)]) \oplus [(e;f)] = \\
= [(a+c;b+d)] \oplus [(e;f)] = \\
= [((a+c)+e;(b+d)+f)] = \\
= [(a+(c+e);b+(d+f))] = \\
= [(a;b)] \oplus [(c+e;d+f)] = \\
= [(a;b)] \oplus ([(c;d)] \oplus [(e;f)])
\end{aligned}
∎