Bizonyítás
A 13.10. Tétel szerint minden egész szám felírható [(x;0)] vagy [(0;x)] alakban – ahol x valamilyen természetes szám. Ezért elegendő ellenőrizni, hogy tetszőleges n, k és a természetes számok esetén teljesülnek az alábbiak:
\begin{aligned}\underbrace{[(n;0)]}_{\text{pozitív}} \odot \underbrace{[(k;0)]}_{\text{pozitív}} &= [(n+a;a)]
\odot [(k;0)] \\ \underbrace{[(n;0)]}_{\text{pozitív}} \odot \underbrace{[(0;k)]}_{\text{negatív}} &=
[(n+a;a)] \odot [(0;k)] \\ \underbrace{[(0;n)]}_{\text{negatív}} \odot \underbrace{[(k;0)]}_{\text{pozitív}}
&= [(a;n+a)] \odot [(k;0)] \\ \underbrace{[(0;n)]}_{\text{negatív}} \odot
\underbrace{[(0;k)]}_{\text{negatív}} &= [(a;n+a)] \odot [(0;k)] \end{aligned}
Ez a négy egyenlet a 14.3. Definíció miatt rendre így írható fel:
\begin{aligned}[(nk;0)]&=[(nk +ak;ak)] \\ [(0;nk)]&=[(ak;nk +ak)] \\ [(0;nk)]&=[(ak;nk +ak)] \\
[(nk;0)]&=[(nk +ak;ak)] \end{aligned}
Mivel a \sim reláció 13.1. Definíciójának 1. pontja miatt egyrészt (nk;0)\sim (nk+ak;ak), másrészt (0;nk)\sim (ak;nk+ak), ezért az egyenletek bal- és jobboldalai valóban ugyanazokat az egész számokat reprezentálják.
∎