youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 13.10. Tétel szerint minden egész szám felírható [(x;0)][(x;0)] vagy [(0;x)][(0;x)] alakban – ahol xx valamilyen természetes szám. Ezért elegendő ellenőrizni, hogy tetszőleges nn, kk és aa természetes számok esetén teljesülnek az alábbiak:

[(n;0)]⏟pozitıˊv⊙[(k;0)]⏟pozitıˊv=[(n+a;a)]⊙[(k;0)][(n;0)]⏟pozitıˊv⊙[(0;k)]⏟negatıˊv=[(n+a;a)]⊙[(0;k)][(0;n)]⏟negatıˊv⊙[(k;0)]⏟pozitıˊv=[(a;n+a)]⊙[(k;0)][(0;n)]⏟negatıˊv⊙[(0;k)]⏟negatıˊv=[(a;n+a)]⊙[(0;k)]\begin{aligned}\underbrace{[(n;0)]}_{\text{pozitív}} \odot \underbrace{[(k;0)]}_{\text{pozitív}} &= [(n+a;a)] \odot [(k;0)] \\ \underbrace{[(n;0)]}_{\text{pozitív}} \odot \underbrace{[(0;k)]}_{\text{negatív}} &= [(n+a;a)] \odot [(0;k)] \\ \underbrace{[(0;n)]}_{\text{negatív}} \odot \underbrace{[(k;0)]}_{\text{pozitív}} &= [(a;n+a)] \odot [(k;0)] \\ \underbrace{[(0;n)]}_{\text{negatív}} \odot \underbrace{[(0;k)]}_{\text{negatív}} &= [(a;n+a)] \odot [(0;k)] \end{aligned}

Ez a négy egyenlet a 14.3. Definíció miatt rendre így írható fel:

[(nk;0)]=[(nk+ak;ak)][(0;nk)]=[(ak;nk+ak)][(0;nk)]=[(ak;nk+ak)][(nk;0)]=[(nk+ak;ak)]\begin{aligned}[(nk;0)]&=[(nk +ak;ak)] \\ [(0;nk)]&=[(ak;nk +ak)] \\ [(0;nk)]&=[(ak;nk +ak)] \\ [(nk;0)]&=[(nk +ak;ak)] \end{aligned}

Mivel a ∼\sim reláció 13.1. Definíciójának 1. pontja miatt egyrészt (nk;0)∼(nk+ak;ak)(nk;0)\sim (nk+ak;ak), másrészt (0;nk)∼(ak;nk+ak)(0;nk)\sim (ak;nk+ak), ezért az egyenletek bal- és jobboldalai valóban ugyanazokat az egész számokat reprezentálják.

∎