Bizonyítás
Indirekt bizonyítást fogunk alkalmazni, azaz megmutatjuk, hogy milyen képtelen következményekhez vezetne, ha az állítás nem lenne igaz. Tegyük fel ezért, hogy léteznek olyan galád a és b természetes számok, amelyek esetén a\cdot b=0, ugyanakkor a\neq 0 és b\neq 0.
Mivel b\neq 0, ezért a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan természetes szám, amelynek épp b a rákövetkezője. Jelöljük ezt a számot c-vel, a rákövetkezési függvényt pedig s-sel, azaz s(c)=b. Ekkor viszont b helyére behelyettesítve s(c)-t, a következőt kapjuk:
A 12.1. Definíció 2. pontja miatt ez a kifejezés így is írható:
Viszont a 12.19. Lemma miatt a természetes számok körében egy összeg csak akkor lehet 0, ha mindkét tagja 0. Azaz jelen esetben a\cdot c=0 és a=0. Ezek közül a második viszont ellentmond annak az indirekt feltételezésünknek, miszerint a\neq 0.
∎