Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, hogy nem igaz az állítás, azaz valamilyen c\neq 0 mellett léteznek olyan galád a és b természetes számok, amelyekre a\cdot c=b\cdot c teljesül, ugyanakkor a\neq b.
Ekkor a és b kisebb-nagyobb viszonyaira vonatkozóan a 12.15. Definícióban bevezetett \leq reláció trichotómiája miatt az alábbi két eset lehetséges:
Ha a\lt b, akkor ez szintén a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan k\neq 0 természetes szám, hogy:
Ezt behelyettesítve az a\cdot c=b\cdot c egyenletbe a következőt kapjuk:
A szorzás a 12.6. Tétel alapján disztributív, ezért az egyenlet jobboldalán lévő zárójel felbontható:
Azt viszont tudjuk, hogy egyrészt k\neq 0, másrészt c\neq 0, ezért a 14.1. Lemma alapján a szorzatuk sem lehet 0. Jelöljük most ezt a nemnulla k\cdot c szorzatot l-lel, azaz:
Az egyenlet baloldalához a 11.4. Definíció 1. pontja miatt hozzáadhatunk 0-t:
Ez viszont ellentmondás, hiszen ezt az egyenletet a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük a\cdot c-vel, és így az alábbi butaságot kapnánk:
A másik esetben – tehát amikor a\gt b – ugyanilyen gondolatmenet alapján juthatunk ellentmondásra.
∎