Fölérendelt lap:14.2. LemmaSzorzat egyszerűsítése a természetes számok körében

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, hogy nem igaz az állítás, azaz valamilyen $c\neq 0$ mellett léteznek olyan galád $a$ és $b$ természetes számok, amelyekre $a\cdot c=b\cdot c$ teljesül, ugyanakkor $a\neq b$ .

Ekkor $a$ és $b$ kisebb-nagyobb viszonyaira vonatkozóan a 12.15. Definícióban bevezetett $\leq$ reláció trichotómiája miatt az alábbi két eset lehetséges:

\begin{aligned} a &< b \\ a &> b \end{aligned}

Ha $a\lt b$ , akkor ez szintén a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan $k\neq 0$ természetes szám, hogy:

a+k=b

Ezt behelyettesítve az $a\cdot c=b\cdot c$ egyenletbe a következőt kapjuk:

a\cdot c=(\underbrace{a+k}_{=b})\cdot c

A szorzás a 12.6. Tétel alapján disztributív, ezért az egyenlet jobboldalán lévő zárójel felbontható:

a\cdot c=a\cdot c + k\cdot c

Azt viszont tudjuk, hogy egyrészt $k\neq 0$ , másrészt $c\neq 0$ , ezért a 14.1. Lemma alapján a szorzatuk sem lehet $0$ . Jelöljük most ezt a nemnulla $k\cdot c$ szorzatot $l$ -lel, azaz:

a\cdot c=a\cdot c + \underbrace{l}_{\neq 0}

Az egyenlet baloldalához a 11.4. Definíció 1. pontja miatt hozzáadhatunk $0$ -t:

a\cdot c + 0=a\cdot c + \underbrace{l}_{\neq 0}

Ez viszont ellentmondás, hiszen ezt az egyenletet a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük $a\cdot c$ -vel, és így az alábbi butaságot kapnánk:

0=l\neq 0

A másik esetben – tehát amikor $a\gt b$ – ugyanilyen gondolatmenet alapján juthatunk ellentmondásra.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre