youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Először a kommutativitást vizsgáljuk. Az 1. pontban szereplő egyenlet baloldala a \odot művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

[(a;b)] \odot [(c;d)] = [(ac+bd;ad+bc)]

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

[(c;d)] \odot [(a;b)] = [(ca+db;cb+da)]

Tekintve, hogy a 11.8. és a 12.4. Tételek miatt a természetes számok összeadása és szorzása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a \odot művelet is valóban kommutatív.

Most nézzük az asszociativitást. A 2. pontban szereplő egyenlet baloldala szintén a \odot művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

\begin{aligned} &([(a;b)] \odot [(c;d)]) \odot [(e;f)] = \\ = &[(ac+bd;ad+bc)] \odot [(e;f)] = \\ = &[((ac+bd)e + (ad+bc)f; (ac+bd)f + (ad+bc)e)] = \\ = &[(ace+bde+adf+bcf;acf+bdf+ade+bce)] \end{aligned}

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

\begin{aligned} &[(a;b)] \odot ([(c;d)] \odot [(e;f)]) = \\ = &[(a;b)] \odot [(ce+df;cf+de)] = \\ = &[(a(ce+df) + b(cf+de); a(cf+de) + b(ce+df))] = \\ = &[(ace+adf+bcf+bde;acf+ade+bce+bdf)] \end{aligned}

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel miatt a természetes számok összeadása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a \odot művelet valóban asszociatív.

Végül ellenőrizzük a disztributivitást. A 3. pontban szereplő egyenlet baloldala szintén a \odot művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

\begin{aligned} &[(a;b)] \odot ([(c;d)] \oplus [(e;f)]) = \\ = &[(a;b)] \odot [(c+e;d+f)] = \\ = &[(a(c+e) +b(d+f);a(d+f) + b(c+e))] = \\ = &[(ac+ae+bd+bf;ad+af+bc+be)] \end{aligned}

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

\begin{aligned} &([(a;b)] \odot [(c;d)]) \oplus ([(a;b)] \odot [(e;f)]) = \\ = &[(ac+bd;ad+bc)] \oplus [(ae+bf;af+be)] = \\ = &[(ac+bd+ae+bf;ad+bc+af+be)] \end{aligned}

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel miatt a természetes számok összeadása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a \odot művelet valóban disztributív a \oplus műveletre nézve.

∎