Fölérendelt lap:14.10. TételInverz elem egyértelműsége

Bizonyítás

Indirekt tegyük fel, hogy egy $a$ elemnek két inverze is létezik a $*$ műveletre nézve. Jelöljük ezeket $x$ -szel és $y$ -nal. Egyrészt mivel $x$ inverz, ezért egyben baloldali inverz is. Így igaz az alábbi:

(x*a)*y = n*y = y

Másrészt, mivel $y$ is inverz, ezért egyben jobboldali inverz is. Így igaz az alábbi is:

x*(a*y) = x*n = x

Tekintve, hogy a $*$ művelet asszociatív, ezért a fenti két egyenlet baloldalai megegyeznek, így tulajdonképpen indirekt feltételezésünkkel ellentétben $x=y$ . Az $a$ elem inverze tehát valóban egyértelmű, amennyiben létezik.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre