Bizonyítás
A 13.5. Definíció alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy a \sim szimbólummal jelölt reláció reflexív, tranzitív és szimmetrikus. Az alábbiakban legyenek a, b és c a G csoport tetszőleges elemei, az egységelemet pedig jelöljük e-vel. A bizonyítás során végig arra fogunk támaszkodni, hogy H részcsoport G-ben.
Mivel nyilván a^{-1}a=e teljesül, és a G csoport egységeleme a 24.5. Tétel 2. pontja alapján benne van a H részcsoportban, ezért fennáll az a\sim a reláció, így az reflexív.
Ha a^{-1}b és b^{-1}c benne vannak H-ban, akkor a 24.5. Tétel 1. pontja alapján az ő szorzatuk is benne van H-ban. Az ő szorzatuk viszont épp az a^{-1}c elem, hiszen:
Így tehát a\sim b és b\sim c együttes fennállásából következik a\sim c, azaz teljesül a tranzitivitás is.
Végül ha a^{-1}b benne van H-ban, akkor a 24.5. Tétel 3. pontja miatt az ő inverze is benne van H-ban. Az ő inverze viszont a 24.2. Tétel szerint épp b^{-1}a, hiszen:
Vagyis a\sim b-ből következik b\sim a, ami épp a szimmetriát jelenti.
A \sim reláció tehát valóban egy ekvivalenciareláció, amely a G csoportot ekvivalencia-osztályokra bontja. Ezek lesznek a H szerinti baloldali mellékosztályok. A g elemet tartalmazó baloldali mellékosztály pontosan azokból az x elemekből fog állni, amelyekre teljesül a g\sim x reláció, azaz – a tétel szövege alapján – amelyek esetén a g^{-1}x szorzat benne van H-ban. Ez viszont a 18.19. Definícióban bevezetett komplexusszorzás nyelvén pontosan azt jelenti, hogy x benne van a gH halmazban.
A tétel jobboldali mellékosztályokra vonatkozó állítása pontosan ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható, csak ott a szorzásokat fordított sorrendben kell felírni.
∎