youproof.orgDeep Math. Human Access.

25.9. Tétel

Faktorcsoport

Legyen G egy tetszőleges csoport, N pedig normálosztó G-ben. Jelöljük G/N-nel azt a halmazt, amelynek elemei a 24.7. Tételben definiált N szerinti mellékosztályok.

Most bevezetünk egy műveletet a G/N halmazon. Ha A=aN és B=bN két mellékosztály G/N-ben, akkor ezek \odot-tal jelölt szorzata legyen az alábbi mellékosztály:

A\odot B=(ab)N

Ekkor a G/N halmaz ezzel a művelettel csoportot alkot, amelyet a G csoport N normálosztó szerinti faktorcsoportjának nevezünk. Igazak továbbá az alábbiak:

1.
Ha e jelöli a G csoport egységelemét, akkor a G/N csoport egységeleme az eN mellékosztály.
2.
Ha a^{-1} jelöli a G csoport egy a elemének inverzét, akkor a G/N csoport aN elemének inverze az (a^{-1})N mellékosztály.
3.
Ha G Abel-csoport, akkor G/N is az.
4.
Tekintsük azt az f:G\to G/N függvényt, amely minden G-beli g elemhez a gN mellékosztályt rendeli hozzá a G/N csoportból – tehát azt a mellékosztályt, amelynek ő eleme. Ekkor f egy szürjektív csoporthomomorfizmus G és G/N között, melynek magja N. Ennek a neve természetes csoporthomomorfizmus.

♣