Megjegyzés
A most definiált fogalom segítségével egyszerűen eldönthető, hogy két elemnek mikor egyezik meg az f szerinti képe. Nevezetesen: a G csoport valamely a és b elemei esetén akkor és csak akkor teljesül az f(a)=f(b) egyenlőség, ha az a^{-1}b szorzat benne van f magjában.
Ha ugyanis f(a)=f(b), akkor mindkét oldalt balról f(a) inverzével szorozva, valamint kihasználva f művelettartó és a 25.2. Lemma 2. pontja szerinti inverzképzéstartó tulajdonságát, ezt kapjuk:
\underbrace{(f(a))^{-1}\cdot f(a)}_{=e_H} = \underbrace{(f(a))^{-1}\cdot f(b)}_{=f(a^{-1})\cdot f(b) = f(a^{-1}\cdot b)}
Ez viszont épp azt jelenti, hogy az a^{-1}b szorzat benne van f magjában, azaz:
a^{-1}b \in \ker f
Ezek az átalakítások nyilván visszafelé is végigjátszhatók, azaz a^{-1}b \in \ker f-ből pedig f(a)=f(b) következik.
♣