youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 24.1. Definícióban felsorolt csoportaxiómákat kell ellenőrizni. A \odot művelet asszociativitása könnyedén adódik a G_1, G_2, ..., G_n csoportokon értelmezett műveletek ugyanezen tulajdonságából:

\begin{aligned}((&a_1;\ldots;a_n)\odot(b_1;\ldots;b_n))\odot(c_1;\ldots;c_n) =\\&= (a_1\cdot b_1;\ldots;a_n\cdot b_n)\odot(c_1;\ldots;c_n) =\\&=((a_1\cdot b_1)\cdot c_1;\ldots;(a_n\cdot b_n)\cdot c_n) =\\&= (a_1\cdot (b_1\cdot c_1);\ldots;a_n\cdot (b_n\cdot c_n)) =\\&=(a_1;\ldots;a_n)\odot(b_1\cdot c_1;\ldots;b_n\cdot c_n)=\\&=(a_1;\ldots;a_n)\odot((b_1;\ldots;b_n)\odot(c_1;\ldots;c_n))\end{aligned}

Most igazoljuk az egységelemre vonatkozó állítást. Legyen (g_1;\ldots;g_n) a G_1\times \ldots \times G_n halmaz egy tetszőleges eleme. Ezt az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elemmel összeszorozva bármely oldalról az eredmény valóban nem változik, hiszen minden komponensben a megfelelő csoport egységelemével való szorzás fog szerepelni. Az alábbiakban a jobbról való szorzás esetét igazoltuk, a másik irányú szorzás ehhez hasonlóan adódik:

\begin{aligned}(&g_1;\ldots;g_n)\odot(e_{G_1};\ldots;e_{G_n})=\\&=(g_1\cdot e_{G_1};\ldots;g_n\cdot e_{G_n})=\\&=(g_1;\ldots;g_n)\end{aligned}

Végül igazoljuk az inverzképzésre vonatkozó állítást is. A (g_1;\ldots;g_n) elemet a (g_1^{-1};\ldots;g_n^{-1}) elemmel jobbról szorozva az eredmény valóban az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elem lesz, hiszen minden komponensben az adott komponens és annak a megfelelő csoportban vett inverzével való jobbról szorzás fog szerepelni:

\begin{aligned}(&g_1;\ldots;g_n)\odot(g_1^{-1};\ldots;g_n^{-1})=\\&=(g_1\cdot g_1^{-1};\ldots;g_n\cdot g_n^{-1})=\\&=(e_{G_1};\ldots;e_{G_n})\end{aligned}

A balról szorzás esete ehhez hasonlóan igazolható.

∎