youproof.orgDeep Math. Human Access.

25.18. Tétel

Csoportok direkt szorzata

Legyenek G_1, G_2, ..., G_n tetszőleges csoportok, és értelmezzünk egy műveletet a G_1\times G_2\times \ldots \times G_n szorzathalmaz tetszőleges (g_1;g_2;\ldots;g_n) és (h_1;h_2;\ldots;h_n) elemei között az alábbi módon:

(g_1;g_2;\ldots;g_n)\odot (h_1;h_2;\ldots;h_n)=(g_1\cdot h_1;g_2\cdot h_2;\ldots;g_n\cdot h_n)

A \odot műveletet tehát úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek szorzatait képezzük a megfelelő csoportokban.

Ekkor a G_1\times G_2\times \ldots \times G_n halmaz szintén egy csoportot alkot ezzel az művelettel. Ezt a csoportot a G_1, G_2, ..., G_n csoportok direkt szorzatának, vagy szorzatcsoportjának nevezzük. E szorzatcsoport egységeleme egy olyan rendezett n-es, amelynek minden komponensében a megfelelő csoport egységeleme áll. Azaz:

e_{G_1\times G_2\times \ldots \times G_n}=(e_{G_1};e_{G_2};\ldots;e_{G_n})

A szorzatcsoport egy tetszőleges (g_1;g_2;\ldots;g_n) elemének (g_1;g_2;\ldots;g_n)^{-1}-gyel jelölt inverzét úgy kapjuk meg, hogy vesszük minden komponens inverzét a megfelelő csoportban. Azaz:

(g_1;g_2;\ldots;g_n)^{-1}=(g_1^{-1};g_2^{-1};\ldots;g_n^{-1})

♣