Megjegyzés
A g elem által generált részcsoport pontosan a g elem egész kitevős hatványaiból áll. Jelöljük ugyanis P-vel a g elem egész kitevős hatványaiból álló halmazt, és igazoljuk az alábbi halmazegyenlőséget:
Egyrészt P részcsoport G-ben, hiszen teljesülnek rá a 24.5. Tétel feltételei:
- A G csoport e egységeleme a 24.9. Definíció alapján g^0-ként írható fel, így benne van P-ben.
- A 24.11. Tétel 3. pontja alapján tetszőleges n és k egészekre g^n\cdot g^k=g^{n+k}, így P zárt a szorzásra.
- Végül a 24.11. Tétel 4. pontja alapján (g^k)^{-1} =g^{-k}, így P zárt az inverzképzésre is.
Mivel P nyilván tartalmazza a g=g^1 elemet, ezért P egy olyan részcsoport, amely tartalmazza a \{g\} halmazt. Tekintve, hogy a 25.22. Definíció szerint a legszűkebb \{g\}-t tartalmazó részcsoport \lang g\rang, így \lang g\rang \sube P teljesül.
Másrészt minden olyan K\leq G részcsoport, amely tartalmazza g-t, a 24.5. Tétel alapján tartalmazza az e=g^0 egységelemet és a g^{-1} inverzet is, továbbá zárt a szorzásra. Így a 24.9. Definíció alapján g összes pozitív és negatív kitevős hatványa, azaz P minden eleme benne van K-ban. Ez speciálisan igaz K=\lang g\rang-re is, tehát P \sube \lang g\rang is teljesül. A kölcsönös tartalmazásból pedig \lang g\rang=P következik.
Továbbá minden G ciklikus csoport Abel-csoport. Legyenek ugyanis a és b a G csoport tetszőleges elemei. Mivel G ciklikus, ezért a és b felírhatók valamilyen g\in G generátorelem egész kitevős hatványaiként:
Ám ekkor e két elem szorzata a 24.11. Tétel 3. pontja alapján felcserélhető, hiszen:
♣