24.9. Definíció
Egész kitevős hatványozás
Legyen S tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy *-gal jelölt asszociatív művelet, amelyre nézve létezik neutrális elem. Tegyük fel továbbá, hogy x az S halmaz egy olyan eleme, amely invertálható erre a műveletre nézve – jelöljük x inverzét x^{-1}-gyel –, n pedig tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor egész kitevős hatvány alatt az alábbi kifejezéseket értjük:
\begin{aligned}
x^n &= \overbrace{x*x*x*\ldots *x}^{\text{n darab}} \\
x^0 &= e \\
x^{-n} &= \underbrace{(x^{-1})*(x^{-1})*\ldots * (x^{-1})}_{\text{n darab}}=(x^{-1})^n
\end{aligned}
Azaz x-nek a 0. hatványa alatt a neutrális elemet, -n-edik hatványa alatt pedig x inverzének az n-edik hatványát értjük. A fenti kifejezésekben az x-et a 18.8. Tételben leírtak szerint alapnak, az n, a -n és a 0 egész számokat pedig egész kitevőknek nevezzük.
♣