18.8. Tétel
A hatványozás azonosságai
Legyen R egy tetszőleges kommutatív gyűrű, és jelöljük az R-beli szorzás műveletét a \odot szimbólummal, az egész számok közötti szorzást a szokásos \cdot szimbólummal vagy egymás után írással, míg az egész számok közötti összeadást a szokásos + szimbólummal. Tegyük fel továbbá, hogy ha x az R gyűrű valamely eleme, n pedig tetszőleges pozitív egész szám, akkor az x^n hatvány alatt az alábbi n tényezős szorzatot értjük:
x^n=\underbrace{x\odot x\odot x\odot \ldots \odot x}_{\text{n darab}}
Itt az x elemet alapnak, az n pozitív egész számot pedig kitevőnek nevezzük.
Ekkor tetszőleges R-beli a és b elemek, valamint tetszőleges n és k pozitív egész számok esetén teljesülnek az alábbi tulajdonságok:
1.
(a\odot b)^n=a^n\odot b^n
2.
(a^n)^k=a^{n\cdot k}
3.
a^n\odot a^k=a^{n+k}
♣