youproof.orgDeep Math. Human Access.

18.8. Tétel

A hatványozás azonosságai

Legyen RR egy tetszőleges kommutatív gyűrű, és jelöljük az RR-beli szorzás műveletét a ⊙\odot szimbólummal, az egész számok közötti szorzást a szokásos ⋅\cdot szimbólummal vagy egymás után írással, míg az egész számok közötti összeadást a szokásos ++ szimbólummal. Tegyük fel továbbá, hogy ha xx az RR gyűrű valamely eleme, nn pedig tetszőleges pozitív egész szám, akkor az xnx^n hatvány alatt az alábbi nn tényezős szorzatot értjük:

xn=x⊙x⊙x⊙…⊙x⏟n darabx^n=\underbrace{x\odot x\odot x\odot \ldots \odot x}_{\text{n darab}}

Itt az xx elemet alapnak, az nn pozitív egész számot pedig kitevőnek nevezzük.

Ekkor tetszőleges RR-beli aa és bb elemek, valamint tetszőleges nn és kk pozitív egész számok esetén teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1.
(a⊙b)n=an⊙bn(a\odot b)^n=a^n\odot b^n
2.
(an)k=an⋅k(a^n)^k=a^{n\cdot k}
3.
an⊙ak=an+ka^n\odot a^k=a^{n+k}

♣