youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A bizonyításban a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákra fogunk hivatkozni.

Az 1. tulajdonság: Az (a\odot b)^n hatvány egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője (a\odot b). A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, valamint a 6. gyűrűaxióma miatt – mivel kommutatív gyűrűről van szó – kommutatív is, ezért ezt a szorzatot a 11.11. Következmény alapján tetszőlegesen átrendezhetjük és átzárójelezhetjük. Így az a és b tényezőket csoportosítva két n tényezős szorzathoz jutunk. Az elsőnek minden tényezője a, a másodiknak pedig b:

\begin{aligned} (a\odot b)^n&=\overbrace{(a\odot b)\odot (a\odot b)\odot \ldots \odot (a\odot b)}^{\text{n darab}}= \\ &=(\underbrace{a\odot a\odot \ldots \odot a}_{\text{n darab}})\odot(\underbrace{b\odot b\odot \ldots \odot b}_{\text{n darab}})= \\ &=a^n\odot b^n \end{aligned}

A 2. tulajdonság: Az (a^n)^k egy olyan k tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a^n. Ezen tényezők mindegyike viszont egy-egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért ez tulajdonképpen egy olyan n\cdot k tényezős szorzatként is felfogható, amelynek minden tényezője a. Azaz valóban:

(a^n)^k=a^{n\cdot k}

A 3. tulajdonság: Az a^n és a^k szorzatoknak rendre n és k darab tényezője van. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért az ő szorzatuk tulajdonképpen felfogható egy olyan nagy szorzatként, amelyben ezen tényezők száma összeadódik. Azaz az a^n\cdot a^k szorzatnak n+k darab tényezője lesz, és így valóban:

a^n\odot a^k=a^{n+k}

∎