Bizonyítás

Az 1. tulajdonság: Az $(a\odot b)^n$ hatvány egy olyan $n$ tényezős szorzat, amelynek minden tényezője $(a\odot b)$. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, valamint a 6. gyűrűaxióma miatt – mivel kommutatív gyűrűről van szó – kommutatív is, ezért ezt a szorzatot a 11.11. Következmény alapján tetszőlegesen átrendezhetjük és átzárójelezhetjük. Így az $a$ és $b$ tényezőket csoportosítva két $n$ tényezős szorzathoz jutunk. Az elsőnek minden tényezője $a$, a másodiknak pedig $b$:

A 2. tulajdonság: Az $(a^n)^k$ egy olyan $k$ tényezős szorzat, amelynek minden tényezője $a^n$. Ezen tényezők mindegyike viszont egy-egy olyan $n$ tényezős szorzat, amelynek minden tényezője $a$. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért ez tulajdonképpen egy olyan $n\cdot k$ tényezős szorzatként is felfogható, amelynek minden tényezője $a$. Azaz valóban:

A 3. tulajdonság: Az $a^n$ és $a^k$ szorzatoknak rendre $n$ és $k$ darab tényezője van. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért az ő szorzatuk tulajdonképpen felfogható egy olyan nagy szorzatként, amelyben ezen tényezők száma összeadódik. Azaz az $a^n\cdot a^k$ szorzatnak $n+k$ darab tényezője lesz, és így valóban: