Bizonyítás
Előszöris vezessük be az N=\ker f jelölést a továbbiakban.
Itt tulajdonképpen két halmazrendszer elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni mindkét irányban. Az első halmazrendszer tehát a G csoport azon részcsoportjaiból áll, amelyek tartalmazzák N-et, mint az f csoporthomomorfizmus magját. Ezt jelöljük \mathcal{G}-vel. A második halmazrendszer pedig H összes részcsoportjaiból áll. Ezt jelöljük \mathcal{H}-val.
A 25.13. Tétel 1. pontja szerint tetszőleges G-beli részcsoport f szerinti képe részcsoport H-ban. Mindez természetesen speciálisan igaz az N-et tartalmazó G-beli részcsoportokra is. Így a g megfeleltetés – amely tehát mindegyik K\in \mathcal{G} részcsoportot összepárosítja az f(K)\in \mathcal{H} részcsoporttal – tekinthető egy \mathcal{G}-ből \mathcal{H}-ba mutató függvénynek is:
Ehhez hasonlóan a 25.13. Tétel 3. pontja szerint tetszőleges H-beli részcsoport f szerinti teljes inverz képe egy olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza N-et. Így a h megfeleltetés – amely tehát mindegyik L\in \mathcal{H} részcsoportot összepárosítja az f^{-1}(L)\in \mathcal{G} részcsoporttal – tekinthető egy \mathcal{H}-ból \mathcal{G}-be mutató függvénynek is:
A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló részcsoportot kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges K\in \mathcal{G} és L\in \mathcal{H} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelési láncok érvényességét:
A második hozzárendelési lánc érvényessége könnyen adódik, ugyanis f a tétel szövege alapján szürjektív, ezért minden H-beli elem legalább egy G-beli elemnek képe, azaz f(G) most a teljes H. Mivel a \mathcal{H} halmazrendszer H részcsoportjaiból áll, ezért minden L\in \mathcal{H} esetén L\sube f(G), és így a 25.12. Definíció utáni megjegyzés alapján valóban teljesül, hogy:
Az első hozzárendelési lánc érvényességének igazolásához az f^{-1}(f(K))=K halmazegyenlőséget kell megmutatnunk, amely a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján pontosan az alábbi két tartalmazási reláció együttes fennállása esetén teljesül:
A 25.12. Definíció utáni megjegyzésben már láttuk, hogy az első tartalmazási reláció mindig teljesül, így elegendő csak a másodikat igazolni. Ehhez azt kell megmutatni, hogy f^{-1}(f(K)) minden eleme benne van K-ban. Legyen tehát a az f^{-1}(f(K)) halmaz egy tetszőleges eleme. Ekkor egyrészt a 25.12. Definíció alapján f(a)\in f(K). Másrészt szintén a 25.12. Definíció alapján minden f(K)-beli elem legalább egy K-beli elem f szerinti képe. Ez speciálisan igaz az f(a) elemre is, azaz léteznie kell K-ban egy olyan k elemnek, amelyre f(k)=f(a) teljesül.
Ez viszont a 25.3. Definíció utáni megjegyzés alapján azt jelenti, hogy a k^{-1}a szorzat benne van f magjában, azaz N-ben. Másként fogalmazva létezik olyan n\in N, hogy teljesül az alábbi:
Mindkét oldalt balról k-val szorozva:
A tétel szövegéből viszont tudjuk, hogy N\sube K, így ez a bizonyos n benne van egyúttal a K részcsoportban is, következésképp az a=kn szorzat is benne van K-ban, hiszen ő zárt a szorzásra nézve. Mivel megmutattuk, hogy a\in K, ezért valóban teljesül az alábbi tartalmazás is:
∎