Megjegyzés

Az imént bevezetett $\sube$ szimbólummal jelölt tartalmazási relációt ne keverjük össze a 19.1. Definícióban bevezetett $\in$ relációval. Nagyon nem ugyanaz a két fogalom! Ha például $A$ és $B$ két halmaz, akkor $A\sube B$ azt fejezi ki, hogy $A$ összes eleme egyúttal $B$-nek is eleme. Ezzel szemben $A\in B$ azt fejezi ki, hogy $B$ egy olyan halmaz, amelynek elemei maguk is halmazok, és ezek közül az $A$ halmaz az egyik. A 18.8. szakaszban a 18.23. Tétel szerinti maradékosztálygyűrűknek például az elemei maradékosztályok, amelyek ugye maguk is halmazok. Gyakran fogjuk ugyanakkor használni a "$B$ tartalmazza $A$-t elemként" kifejezést. Ilyenkor értelemszerűen mindig az $A\in B$ "eleme lenni"-relációra, és nem pedig az $A\sube B$ tartalmazási relációra gondolunk.

A $\empty$-vel jelölt üres halmaz részhalmaza tetszőleges $A$ halmaznak, máskülönben létezne olyan $a\in \empty$, amelyre viszont $a\notin B$. Ez ellentmondás, ugyanis a 19.1. Definíció alapján tetszőleges $a$ esetén $a\notin \empty$, azaz az üres halmaznak egyetlen eleme sincs.

Minden $A$ halmaz esetén $A\sube A$, máskülönben létezne olyan $a$ objektum, amelyre $a\in A$ és $a\notin A$ egyszerre teljesül. Ez ellentmondana a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában szereplő "kizárt harmadik elvének".

Minden $A$ halmaz részhalmaza továbbá az $U$ univerzális halmaznak, máskülönben létezne olyan $a$ objektum, amelyre $a\in A$ teljesül ugyan, azonban $a\notin U$. Ez ellentmondás, ugyanis a 19.1. Definíció alapján tetszőleges $a$ esetén $a\in U$, azaz univerzális halmaznak eleme minden objektum.

Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha részhalmazai egymásnak. Ha ugyanis $A=B$, akkor a 3. pont miatt $A\sube B$ és $B\sube A$ nyilván teljesül. Visszafelé: Egyrészt, ha $A\sube B$ teljesül, akkor $a\in A$-ból következik $a\in B$. Másrészt ha $B\sube A$ is teljesül, akkor $a\in B$-ből is következik $a\in A$. Ebben az esetben tehát $a\in A$ akkor és csak akkor, ha $a\in B$, azaz a két halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, és így a 19.1. Definíció alapján egyenlőek egymással.