Megjegyzés

Az imént bevezetett \sube szimbólummal jelölt tartalmazási relációt ne keverjük össze a 19.1. Definícióban bevezetett \in relációval. Nagyon nem ugyanaz a két fogalom! Ha például A és B két halmaz, akkor A\sube B azt fejezi ki, hogy A összes eleme egyúttal B-nek is eleme. Ezzel szemben A\in B azt fejezi ki, hogy B egy olyan halmaz, amelynek elemei maguk is halmazok, és ezek közül az A halmaz az egyik. A 18.8. szakaszban a 18.23. Tétel szerinti maradékosztálygyűrűknek például az elemei maradékosztályok, amelyek ugye maguk is halmazok. Gyakran fogjuk ugyanakkor használni a "B tartalmazza A-t elemként" kifejezést. Ilyenkor értelemszerűen mindig az A\in B "eleme lenni"-relációra, és nem pedig az A\sube B tartalmazási relációra gondolunk.

A \empty-vel jelölt üres halmaz részhalmaza tetszőleges A halmaznak, máskülönben létezne olyan a\in \empty, amelyre viszont a\notin B. Ez ellentmondás, ugyanis a 19.1. Definíció alapján tetszőleges a esetén a\notin \empty, azaz az üres halmaznak egyetlen eleme sincs.

Minden A halmaz esetén A\sube A, máskülönben létezne olyan a objektum, amelyre a\in A és a\notin A egyszerre teljesül. Ez ellentmondana a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában szereplő "kizárt harmadik elvének".

Minden A halmaz részhalmaza továbbá az U univerzális halmaznak, máskülönben létezne olyan a objektum, amelyre a\in A teljesül ugyan, azonban a\notin U. Ez ellentmondás, ugyanis a 19.1. Definíció alapján tetszőleges a esetén a\in U, azaz univerzális halmaznak eleme minden objektum.

Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha részhalmazai egymásnak. Ha ugyanis A=B, akkor a 3. pont miatt A\sube B és B\sube A nyilván teljesül. Visszafelé: Egyrészt, ha A\sube B teljesül, akkor a\in A-ból következik a\in B. Másrészt ha B\sube A is teljesül, akkor a\in B-ből is következik a\in A. Ebben az esetben tehát a\in A akkor és csak akkor, ha a\in B, azaz a két halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, és így a 19.1. Definíció alapján egyenlőek egymással.