18.23. Tétel
Maradékosztálygyűrűk
Legyen egy tetszőleges gyűrű, pedig ideál -ben. Jelöljük -vel azt a halmazt, amelynek elemei a 18.21. Tételben definiált ideál szerinti maradékosztályok.
Most bevezetünk két műveletet az halmazon. Ha és két maradékosztály -ben, akkor ezek -szal jelölt összege illetve -tal jelölt szorzata legyen rendre az alábbi két maradékosztály:
Ekkor az halmaz ezzel a két művelettel gyűrűt alkot, amelyet az gyűrű ideál szerinti (modulo ) maradékosztálygyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezünk. Igazak továbbá az alábbiak:
1.
2.
3.
Ha egységelemes, és jelöli egységelemét, akkor is egységelemes, az egységelem pedig az maradékosztály.
4.
5.
Tekintsük azt az függvényt, amely minden -beli elemhez az maradékosztályt rendeli hozzá az gyűrűből – tehát azt a maradékosztályt, amelynek ő eleme. Ekkor egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus és között, melynek magja . Ennek a neve természetes gyűrűhomomorfizmus.
♣