18.23. Tétel
Maradékosztálygyűrűk
Legyen R egy tetszőleges gyűrű, I pedig ideál R-ben. Jelöljük R/I-vel azt a halmazt, amelynek elemei a 18.21. Tételben definiált I ideál szerinti maradékosztályok.
Most bevezetünk két műveletet az R/I halmazon. Ha A=a+I és B=b+I két maradékosztály R/I-ben, akkor ezek \oplus-szal jelölt összege illetve \odot-tal jelölt szorzata legyen rendre az alábbi két maradékosztály:
\begin{aligned}
A\oplus B&=(a+b)+I \\
A\odot B&=(ab)+I
\end{aligned}
Ekkor az R/I halmaz ezzel a két művelettel gyűrűt alkot, amelyet az R gyűrű I ideál szerinti (modulo I) maradékosztálygyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezünk. Igazak továbbá az alábbiak:
1.
2.
Ha -r jelöli az R gyűrű egy r elemének ellentettjét, akkor az R/I gyűrű r+I elemének ellentettje a (-r)+I maradékosztály.
3.
Ha R egységelemes, és 1 jelöli R egységelemét, akkor R/I is egységelemes, az egységelem pedig az 1+I maradékosztály.
4.
5.
Tekintsük azt az f:R\to R/I függvényt, amely minden R-beli r elemhez az r+I maradékosztályt rendeli hozzá az R/I gyűrűből – tehát azt a maradékosztályt, amelynek ő eleme. Ekkor f egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus R és R/I között, melynek magja I. Ennek a neve természetes gyűrűhomomorfizmus.
♣