youproof.orgDeep Math. Human Access.

18.23. Tétel

Maradékosztálygyűrűk

Legyen RR egy tetszőleges gyűrű, II pedig ideál RR-ben. Jelöljük R/IR/I-vel azt a halmazt, amelynek elemei a 18.21. Tételben definiált II ideál szerinti maradékosztályok.

Most bevezetünk két műveletet az R/IR/I halmazon. Ha A=a+IA=a+I és B=b+IB=b+I két maradékosztály R/IR/I-ben, akkor ezek ⊕\oplus-szal jelölt összege illetve ⊙\odot-tal jelölt szorzata legyen rendre az alábbi két maradékosztály:

A⊕B=(a+b)+IA⊙B=(ab)+I\begin{aligned} A\oplus B&=(a+b)+I \\ A\odot B&=(ab)+I \end{aligned}

Ekkor az R/IR/I halmaz ezzel a két művelettel gyűrűt alkot, amelyet az RR gyűrű II ideál szerinti (modulo II) maradékosztálygyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezünk. Igazak továbbá az alábbiak:

1.
Ha 00 jelöli az RR gyűrű nullelemét, akkor az R/IR/I gyűrű nulleleme a 0+I0+I maradékosztály.
2.
Ha −r-r jelöli az RR gyűrű egy rr elemének ellentettjét, akkor az R/IR/I gyűrű r+Ir+I elemének ellentettje a (−r)+I(-r)+I maradékosztály.
3.
Ha RR egységelemes, és 11 jelöli RR egységelemét, akkor R/IR/I is egységelemes, az egységelem pedig az 1+I1+I maradékosztály.
4.
Ha RR kommutatív, akkor R/IR/I is az.
5.
Tekintsük azt az f:R→R/If:R\to R/I függvényt, amely minden RR-beli rr elemhez az r+Ir+I maradékosztályt rendeli hozzá az R/IR/I gyűrűből – tehát azt a maradékosztályt, amelynek ő eleme. Ekkor ff egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus RR és R/IR/I között, melynek magja II. Ennek a neve természetes gyűrűhomomorfizmus.

♣