youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 18.22. Tétel alapján a maradékosztályok közötti \oplus és \odot műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott maradékosztály nem függ az a és b reprezentánselemek megválasztásától. Így R/I-re elegendő a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákat ellenőrizni.

Műveleti azonosságok

Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges A, B és C maradékosztályok esetén teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned} A\oplus B&=B\oplus A \\ (A\oplus B)\oplus C&=A\oplus (B\oplus C) \\ (A\odot B)\odot C&=A\odot (B\odot C) \\ A\odot (B\oplus C)&=(A\odot B)\oplus (A\odot C) \\ (A\oplus B)\odot C &= (A\odot C)\oplus (B\odot C) \end{aligned}

A két művelet tételben szereplő definíciója alapján ezek így írhatók fel valamilyen R-beli a, b és c reprezentánselemek segítségével:

\begin{aligned} (a+b)+I &= (b+a)+I \\ ((a+b)+c)+I&=(a+(b+c))+I \\ ((a\cdot b)\cdot c)+I&=(a\cdot (b\cdot c))+I \\ (a\cdot (b+c))+I&=(ab+ac)+I \\ ((a+b)\cdot c)+I &= (ac+bc)+I \end{aligned}

A reprezentánselemek között viszont teljesülnek ezek a tulajdonságok, hiszen ők az R gyűrű elemei.

R/I nulleleme

Az R/I gyűrűben kell egy olyan N maradékosztályt mutatni, amelyre tetszőleges A=a+I maradékosztály esetén teljesül az alábbi:

A\oplus N=N\oplus A=A

Mivel az \oplus műveletről már láttuk, hogy kommutatív, így elegendő csak az egyik irányú összeadást figyelembe venni. Ha az R gyűrű nulleleme 0, akkor az N=0+I=I maradékosztály épp megfelelő lesz nullelemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

(\underbrace{a+I}_{=A})\oplus (\underbrace{0+I}_{=N})=(a+0)+I=a+I=A
Ellentettképzés R/I-ben

Itt azt kell megmutatni, hogy amennyiben N az R/I gyűrű nulleleme, úgy tetszőleges A=a+I maradékosztályhoz létezik olyan \ominus A-val jelölt maradékosztály, amelyre teljesül az alábbi:

A\oplus (\ominus A)=(\ominus A)\oplus A=N

Mivel az \oplus műveletről már láttuk, hogy kommutatív, így elegendő csak az egyik irányú összeadást figyelembe venni. A \ominus A=(-a)+I maradékosztály épp megfelelő lesz ellentett elemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

(\underbrace{a+I}_{=A})\oplus (\underbrace{(-a)+I}_{=\ominus A})=(a-a)+I=0+I=N

Az R/I halmaz tehát valóban gyűrűt alkot a tételben szereplő műveletekkel. Most a hátralévő tulajdonságokat is ellenőrizzük.

Egységelem létezése

Tegyük most fel, hogy R egységelemes, és jelölje 1 az egységelemet R-ben. Feladatunk mutatni az R/I gyűrűben egy olyan E maradékosztályt, amelyre tetszőleges A=a+I maradékosztály esetén teljesül az alábbi:

A\odot E=E\odot A=A

Az E=1+I maradékosztály épp megfelelő lesz egységelemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

\begin{aligned} (\underbrace{a+I}_{=A})\odot (\underbrace{1+I}_{=E})&=(a\cdot 1)+I=a+I=A \\ (\underbrace{1+I}_{=E})\odot (\underbrace{a+I}_{=A})&=(1\cdot a)+I=a+I=A \end{aligned}
R/I kommutativitása

Most tegyük fel, hogy R kommutatív, és legyen az A=a+I valamint a B=b+I két tetszőleges maradékosztály az R/I gyűrűben. Ekkor R kommutativitása miatt teljesül az alábbi, azaz R/I is valóban kommutatív:

\begin{aligned} A\odot B&=(a+I)\odot (b+I)=(a\cdot b)+I= \\ &=(b\cdot a)+I=(b+I)\odot (a+I)=B\odot A \end{aligned}

Meg kell még mutatni, hogy a tételben szereplő f:R\to R/I függvény egy gyűrűhomomorfizmus az eredeti R gyűrű és az R/I faktorgyűrű között. Az f függvény a tétel szövege alapján minden R-beli r elemhez az r+I maradékosztályt rendeli hozzá R/I-ből. Tegyük fel, hogy r és s az R gyűrű tetszőleges elemei. Ekkor a művelettartó tulajdonságok az alábbiak alapján valóban teljesülnek:

\begin{aligned} f(r)\oplus f(s)&=(r+I)\oplus (s+I)=(r+s)+I=f(r+s) \\ f(r)\odot f(s)&=(r+I)\odot (s+I)=(r\cdot s)+I=f(r\cdot s) \end{aligned}

Továbbá f nyilván szürjektív. Ugyanis R/I elemei a 18.21. Tétel alapján ekvivalencia-osztályok, tehát a 13.3. Definíció értelmében mindegyiknek van legalább egy eleme. Az f viszont minden maradékosztályt hozzárendeli a saját elemeihez, és így valóban nincs olyan maradékosztály, amely ne lenne hozzárendelve egyetlen R-beli elemhez sem.

Végül azt kell megmutatni, hogy f magja épp az I ideál. Egy tetszőleges R-beli s elemhez az f gyűrűhomomorfizmus pontosan akkor rendeli hozzá az R/I gyűrű nullelemét – azaz a 0+I maradékosztályt –, ha fennáll az alábbi halmazegyenlőség:

\underbrace{s+I}_{=f(s)}=0+I

Minthogy I egy részgyűrű R-ben – hiszen ideál –, ezért a 18.15. Tétel 3. pontja alapján ő az, aki tartalmazza 0-t, azaz

0+I=I

Az f(s)=0+I tehát akkor és csak akkor teljesül, ha s+I=I, azaz ha s benne van I-ben. Az I ideál tehát valóban magja az f gyűrűhomomorfizmusnak.

∎