youproof.orgDeep Math. Human Access.

18.6. Definíció

Gyűrűhomomorfizmus

Legyen adva egy (R,+,⋅)(R,+,\cdot) és egy (S,⊕,⊙)(S,\oplus,\odot) gyűrű, továbbá egy

f:R→Sf:R\to S

függvény a két gyűrű alaphalmaza között.

Tegyük fel továbbá, hogy tetszőleges RR-beli aa és bb elemekre teljesülnek az alábbi követelmények:

f(a+b)=f(a)⊕f(b)f(a⋅b)=f(a)⊙f(b)\begin{aligned} f(a+b)&=f(a)\oplus f(b)\\ f(a\cdot b)&=f(a)\odot f(b) \end{aligned}

Ekkor az ff függvényt gyűrűhomomorfizmusnak nevezzük.

Amennyiben SS minden eleme legalább egy RR-beli elemhez hozzá van rendelve ff által, akkor ff-et szürjektív gyűrűhomomorfizmusnak (vagy gyűrűráképzésnek) nevezzük. Ez a szituáció látható a 18.2. ábrán.

Szürjektív gyűrűhomomorfizmus (ráképzés)
18.2. ábra: Szürjektív gyűrűhomomorfizmus (ráképzés)

Amennyiben SS minden eleme legfeljebb egy RR-beli elemhez van hozzárendelve ff által, akkor ff-et injektív gyűrűhomomorfizmusnak (vagy gyűrűbeágyazásnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 18.3. ábrán.

Injektív gyűrűhomomorfizmus (beágyazás)
18.3. ábra: Injektív gyűrűhomomorfizmus (beágyazás)

Amennyiben SS minden eleme pontosan egy RR-beli elemhez van hozzárendelve ff által, akkor ff-et bijektív gyűrűhomomorfizmusnak (vagy gyűrűizomorfizmusnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 18.4. ábrán.

Gyűrűizomorfizmus
18.4. ábra: Gyűrűizomorfizmus

Ilyenkor azt mondjuk, hogy az RR és az SS gyűrű izomorf egymással. Ezt így jelöljük:

R≃SR\simeq S

♣