youproof.orgDeep Math. Human Access.

Megjegyzés

A gyűrűizomorfizmusra, mint gyűrűk közötti relációra teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1.
A gyűrűizomorfizmus reflexív, azaz tetszőleges RR gyűrű izomorf önmagával:
R≃RR\simeq R

Nyilván, hiszen az f(a)=af(a)=a leképezés nyilvánvalóan gyűrűizomorfizmus RR-ből önmagába.

2.
A gyűrűizomorfizmus szimmetrikus, azaz tetszőleges RR és SS gyűrűk esetén, ha R≃SR\simeq S, akkor:
S≃RS\simeq R

Nyilván, hiszen ha a nyilak irányát megfordítjuk, akkor az így kapott fordított irányú gg leképezés is kölcsönösen egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy ha xSx_S az SS gyűrű tetszőleges eleme, akkor létezik olyan xRx_R elem az RR gyűrűben, amelyre teljesülnek az alábbiak:

f(xR)=xSg(xS)=xR\begin{aligned} f(x_R)&=x_S \\ g(x_S)&=x_R \end{aligned}

Ekkor azonban ff művelettartó tulajdonságai, valamint a fentiek miatt teljesülnek az alábbi egyenletek:

g(aS⊕bS)=g(f(aR)⊕f(bR))==g(f(aR+bR))==aR+bR==g(aS)+g(bS)g(aS⊙bS)=g(f(aR)⊙f(bR))==g(f(aR⋅bR))==aR⋅bR==g(aS)⋅g(bS)\begin{aligned} g(a_S\oplus b_S)&=g(f(a_R)\oplus f(b_R))= \\ &=g(f(a_R+b_R))= \\ &=a_R+b_R= \\ &=g(a_S)+g(b_S) \\ g(a_S\odot b_S)&=g(f(a_R)\odot f(b_R))= \\ &=g(f(a_R\cdot b_R))= \\ &=a_R\cdot b_R=\\ &=g(a_S)\cdot g(b_S) \end{aligned}

A gg leképezés tehát szintén gyűrűizomorfizmus, csak épp SS-ből mutat RR-be.

3.
A gyűrűizomorfizmus tranzitív, azaz tetszőleges RR, SS és TT gyűrűk esetén, ha R≃SR\simeq S és S≃TS\simeq T, akkor:
R≃TR\simeq T

Jelöljük ugyanis fRSf_{RS}-sel az RR-ből SS-be mutató, fSTf_{ST}-vel pedig az SS-ből TT-be mutató gyűrűizomorfizmust. Ezek után definiáljuk az RR-ből közvetlenül TT-be mutató gg leképezést fRSf_{RS} és fSTf_{ST} egymás után alkalmazásaként. Azaz tetszőleges RR-beli xx elemre legyen

g(x)=fST(fRS(x))g(x)=f_{ST}(f_{RS}(x))

A 18.5. ábrán azonnal látszik, hogy az RR-ből TT-be mutató gg leképezés tulajdonképpen az fRSf_{RS} és fSTf_{ST} leképezéseket reprezentáló nyilak összekapcsolása, amely nyilván kölcsönösen egyértelmű:

Gyűrűizomorfizmus tranzitivitása
18.5. ábra: Gyűrűizomorfizmus tranzitivitása

A művelettartó tulajdonságok könnyen adódnak az fRSf_{RS} és fSTf_{ST} gyűrűizomorfizmusok hasonló tulajdonságaiból. Az alábbi levezetésben az RR gyűrű műveleteit a ++ és ⋅\cdot, az SS gyűrű műveleteit a ⊕\oplus és ⊙\odot, végül a TT gyűrű műveleteit a ⊞\boxplus és ⊡\boxdot szimbólumokkal jelöltük:

g(a+b)=fST(fRS(a+b))==fST(fRS(a)⊕fRS(b))==fST(fRS(a))⊞fST(fRS(b))==g(a)⊞g(b)g(a⋅b)=fST(fRS(a⋅b))==fST(fRS(a)⊙fRS(b))==fST(fRS(a))⊡fST(fRS(b))==g(a)⊡g(b)\begin{aligned} g(a+b)&=f_{ST}(f_{RS}(a+b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a)\oplus f_{RS}(b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a))\boxplus f_{ST}(f_{RS}(b))= \\ &=g(a)\boxplus g(b) \\ g(a\cdot b)&=f_{ST}(f_{RS}(a\cdot b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a)\odot f_{RS}(b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a))\boxdot f_{ST}(f_{RS}(b))= \\ &=g(a)\boxdot g(b) \end{aligned}

♣