youproof.orgDeep Math. Human Access.

Megjegyzés

A gyűrűizomorfizmusra, mint gyűrűk közötti relációra teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1.
A gyűrűizomorfizmus reflexív, azaz tetszőleges R gyűrű izomorf önmagával:
R\simeq R

Nyilván, hiszen az f(a)=a leképezés nyilvánvalóan gyűrűizomorfizmus R-ből önmagába.

2.
A gyűrűizomorfizmus szimmetrikus, azaz tetszőleges R és S gyűrűk esetén, ha R\simeq S, akkor:
S\simeq R

Nyilván, hiszen ha a nyilak irányát megfordítjuk, akkor az így kapott fordított irányú g leképezés is kölcsönösen egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy ha x_S az S gyűrű tetszőleges eleme, akkor létezik olyan x_R elem az R gyűrűben, amelyre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned} f(x_R)&=x_S \\ g(x_S)&=x_R \end{aligned}

Ekkor azonban f művelettartó tulajdonságai, valamint a fentiek miatt teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned} g(a_S\oplus b_S)&=g(f(a_R)\oplus f(b_R))= \\ &=g(f(a_R+b_R))= \\ &=a_R+b_R= \\ &=g(a_S)+g(b_S) \\ g(a_S\odot b_S)&=g(f(a_R)\odot f(b_R))= \\ &=g(f(a_R\cdot b_R))= \\ &=a_R\cdot b_R=\\ &=g(a_S)\cdot g(b_S) \end{aligned}

A g leképezés tehát szintén gyűrűizomorfizmus, csak épp S-ből mutat R-be.

3.
A gyűrűizomorfizmus tranzitív, azaz tetszőleges R, S és T gyűrűk esetén, ha R\simeq S és S\simeq T, akkor:
R\simeq T

Jelöljük ugyanis f_{RS}-sel az R-ből S-be mutató, f_{ST}-vel pedig az S-ből T-be mutató gyűrűizomorfizmust. Ezek után definiáljuk az R-ből közvetlenül T-be mutató g leképezést f_{RS} és f_{ST} egymás után alkalmazásaként. Azaz tetszőleges R-beli x elemre legyen

g(x)=f_{ST}(f_{RS}(x))

A 18.5. ábrán azonnal látszik, hogy az R-ből T-be mutató g leképezés tulajdonképpen az f_{RS} és f_{ST} leképezéseket reprezentáló nyilak összekapcsolása, amely nyilván kölcsönösen egyértelmű:

Gyűrűizomorfizmus tranzitivitása
18.5. ábra: Gyűrűizomorfizmus tranzitivitása

A művelettartó tulajdonságok könnyen adódnak az f_{RS} és f_{ST} gyűrűizomorfizmusok hasonló tulajdonságaiból. Az alábbi levezetésben az R gyűrű műveleteit a + és \cdot, az S gyűrű műveleteit a \oplus és \odot, végül a T gyűrű műveleteit a \boxplus és \boxdot szimbólumokkal jelöltük:

\begin{aligned} g(a+b)&=f_{ST}(f_{RS}(a+b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a)\oplus f_{RS}(b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a))\boxplus f_{ST}(f_{RS}(b))= \\ &=g(a)\boxplus g(b) \\ g(a\cdot b)&=f_{ST}(f_{RS}(a\cdot b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a)\odot f_{RS}(b))= \\ &=f_{ST}(f_{RS}(a))\boxdot f_{ST}(f_{RS}(b))= \\ &=g(a)\boxdot g(b) \end{aligned}

♣