youproof.orgDeep Math. Human Access.

Megjegyzés

Jelöljük például PP-vel a páros számok halmazát, és adjuk meg PP-t az elemek intuitív módon történő felsorolásával:

P={…;−4;−2;0;2;4;…}P=\{\ldots ;-4;-2;0;2;4;\ldots\}

Ugyanezt a PP halmazt megadhatjuk az úgynevezett döntési szabállyal is, amely alapján bármilyen xx objektumról el lehet dönteni, hogy eleme-e PP-nek vagy nem.

P={x:2∣x}P=\{x:2|x\}

Kiolvasva: "olyan xx-ek, amelyek oszthatók 22-vel".

De akár szövegesen is megadhatjuk a PP halmazt, ha az az adott kontextusban kellőképpen egyértelmű:

P={paˊros egeˊszek}P=\{\text{páros egészek}\}

A definícióval kapcsolatban megjegyezzük az alábbiakat:

1.
Az üres halmaz egyértelmű, azaz csak egy üres halmaz létezik. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két üres halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket ∅1\empty_1-gyel és ∅2\empty_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan aa objektum, amely esetén a∉∅1a\notin \empty_1, de a∈∅2a\in \empty_2, vagy pedig a∈∅1a\in \empty_1, de a∉∅2a\notin \empty_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy a ∅1\empty_1 és a ∅2\empty_2 halmazoknak nincs egyetlen eleme sem.
2.
Hasonló okok miatt az UU univerzális halmaz is egyértelmű. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két univerzális halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket U1U_1-gyel és U2U_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan aa objektum, amely esetén a∉U1a\notin U_1, de a∈U2a\in U_2, vagy pedig a∈U1a\in U_1, de a∉U2a\notin U_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy az U1U_1 és az U2U_2 halmazoknak minden objektum eleme.
3.
A definícióban szereplő "halmaz" és "eleme lenni" kifejezések az alapfogalmak szerepét töltik be ugyanúgy, mint a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszerben szereplő "nulla" és "rákövetkező" szavak. Ezeket nem definiáljuk, hanem helyette az axiómákban fogalmazzuk meg a velük szemben támasztott követelményeket.
4.
A definícióban implicit módon csak két axióma szerepel. Az egyik arról szól, hogy minden objektum vagy eleme egy adott halmaznak, vagy pedig nem, harmadik lehetőség nincs. Ezt a matematikai logikában a "kizárt harmadik elvének" nevezzük. A másik axióma azt fogalmazza meg, hogy mikor nevezünk egyenlőnek két halmazt. Ezt meghatározottsági (vagy extenzionalitási) axiómának nevezzük. A naív halmazelméletben nincsenek további axiómák.

♣