Megjegyzés
Jelöljük például P-vel a páros számok halmazát, és adjuk meg P-t az elemek intuitív módon történő felsorolásával:
P=\{\ldots ;-4;-2;0;2;4;\ldots\}
Ugyanezt a P halmazt megadhatjuk az úgynevezett döntési szabállyal is, amely alapján bármilyen x objektumról el lehet dönteni, hogy eleme-e P-nek vagy nem.
P=\{x:2|x\}
Kiolvasva: "olyan x-ek, amelyek oszthatók 2-vel".
De akár szövegesen is megadhatjuk a P halmazt, ha az az adott kontextusban kellőképpen egyértelmű:
P=\{\text{páros egészek}\}
A definícióval kapcsolatban megjegyezzük az alábbiakat:
1.
Az üres halmaz egyértelmű, azaz csak egy üres halmaz létezik. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két üres halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket \empty_1-gyel és \empty_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan a objektum, amely esetén a\notin \empty_1, de a\in \empty_2, vagy pedig a\in \empty_1, de a\notin \empty_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy a \empty_1 és a \empty_2 halmazoknak nincs egyetlen eleme sem.
2.
Hasonló okok miatt az U univerzális halmaz is egyértelmű. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két univerzális halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket U_1-gyel és U_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan a objektum, amely esetén a\notin U_1, de a\in U_2, vagy pedig a\in U_1, de a\notin U_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy az U_1 és az U_2 halmazoknak minden objektum eleme.
3.
A definícióban szereplő "halmaz" és "eleme lenni" kifejezések az alapfogalmak szerepét töltik be ugyanúgy, mint a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszerben szereplő "nulla" és "rákövetkező" szavak. Ezeket nem definiáljuk, hanem helyette az axiómákban fogalmazzuk meg a velük szemben támasztott követelményeket.
4.
A definícióban implicit módon csak két axióma szerepel. Az egyik arról szól, hogy minden objektum vagy eleme egy adott halmaznak, vagy pedig nem, harmadik lehetőség nincs. Ezt a matematikai logikában a "kizárt harmadik elvének" nevezzük. A másik axióma azt fogalmazza meg, hogy mikor nevezünk egyenlőnek két halmazt. Ezt meghatározottsági (vagy extenzionalitási) axiómának nevezzük. A naív halmazelméletben nincsenek további axiómák.
♣