Bizonyítás

A 12.8. Definíció alapján a G_1\times G_2\times \ldots \times G_n halmaznak az elemei azok a (g_1;g_2;\ldots;g_n) rendezett n-esek, amelyeknek i-edik komponense a G_i csoport egy tetszőleges eleme.

Az első komponenst tehát |G_1|-féleképpen választhatjuk meg. Ezek mindegyikéhez a második komponenst egymástól függetlenül |G_2|-féleképpen választhatjuk meg, így az első két komponensre összesen |G_1|\cdot |G_2| lehetőség adódik. Ugyanígy folytatva minden további komponens választása a lehetőségek számát a megfelelő csoport rendjével szorozza meg. Két rendezett n-es pedig pontosan akkor egyezik meg, ha minden komponensük megegyezik.

Így a különböző rendezett n-esek száma, azaz a direkt szorzat rendje valóban |G_1|\cdot |G_2|\cdot \ldots \cdot |G_n|, ami egy véges szám.

∎