Bizonyítás
Tekintsük azt az f csoporthomomorfizmust, amelynek N a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoportba képez, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg a G csoport egységelemét jelöljük e_G-vel. Az f függvény tehát N minden eleméhez e_X-et rendeli hozzá, hiszen \ker f=N. Ezt a szituációt mutatja a 25.5. ábra.
Az 1. tulajdonság igazolásához azt kell megmutatni, hogy N részcsoport G-ben. Ez a 24.5. Tétel alapján pontosan akkor teljesül, ha N tartalmazza e_G-t, valamint zárt a G csoport műveletére és a G-beli inverzképzésre.
Mivel f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma értelmében tartja az egységelemet és az inverzképzést. Azaz egyrészt f(e_G)=e_X, és így e_G valóban benne van f magjában, tehát N-ben. Másrészt ha valamilyen a benne van N-ben, akkor f(a)=e_X, és így az inverzképzés tartása miatt
Azaz a inverzének is e_X a képe, következésképp ő is benne van N-ben.
A csoportműveletre való zártság f művelettartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis a és b az N két tetszőleges eleme, akkor egyrészt teljesülnek az alábbiak:
Másrészt viszont a művelettartás miatt az ő szorzatukra teljesül az alábbi:
Tehát az a\cdot b szorzat is az X csoport egységelemére képeződik, következésképp ő is benne van N-ben. Mivel teljesül a 24.5. Tétel szerinti összes feltétel, ezért N valóban részcsoport G-ben.
A 2. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy g a G csoport tetszőleges – tehát nem feltétlenül N-beli – eleme. Azt kell megmutatni, hogy amennyiben egy N-beli n elemet balról g-vel, jobbról pedig g^{-1}-gyel szorzunk meg, akkor az eredmény is N-beli lesz. Mivel n benne van N-ben, ezért f(n)=e_X. Következésképp f művelettartó és inverzképzéstartó tulajdonsága miatt a gng^{-1} szorzat képére igaz lesz az alábbi:
Elképzelhető ugyan, hogy a gng^{-1} szorzat nem egyezik meg n-nel – kivéve persze ha Abel-csoportról van szó –, de az biztos, hogy f szerinti képe az X csoport egységeleme lesz. Következésképp valóban benne van N-ben.
∎