Bizonyítás
Tegyük fel először, hogy N normálosztó G-ben. Ez a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy minden g\in G és n\in N esetén
Ez természetesen g inverzére is igaz:
A 18.19. Definíció alapján a gN halmaz minden eleme felírható gn alakban valamilyen alkalmas n\in N elemmel. Egy ilyen szorzat azonban az alábbi módon is felírható:
Azt viszont már láttuk, hogy gng^{-1}\in N, így gn benne van az Ng halmazban is. Vagyis:
Ehhez hasonlóan az Ng halmaz minden eleme felírható az alábbi alakban valamilyen alkalmas n\in N elemmel:
Azt is láttuk már, hogy g^{-1}ng\in N, így ng benne van a gN halmazban is. Vagyis:
A gN és Ng halmazok tehát kölcsönösen tartalmazzák egymást, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az alábbi halmazegyenlőség:
Megfordítva: Tegyük fel, hogy minden g\in G esetén gN=Ng. Ez azt jelenti, hogy minden n\in N esetén a gn szorzat nem csak a gN, hanem Ng halmaznak is eleme. Létezik tehát olyan m\in N, hogy:
Ezt az egyenletet jobbról g^{-1}-gyel szorozva az alábbit kapjuk:
Vagyis a gng^{-1} szorzat valóban benne van N-ben, ami a 25.6. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy N normálosztó G-ben.
Végül igazoljuk a gNg^{-1}=N halmazegyenlőséggel való megfogalmazást. Tegyük fel, hogy teljesül ez a halmazegyenlőség. Ekkor nyilván az ennél gyengébb
feltétel is teljesül. A 25.6. Definíció utáni megjegyzés szerint ez épp azt jelenti, hogy N normálosztó.
Megfordítva: Ha N normálosztó, akkor szintén a 25.6. Definíció utáni megjegyzés alapján
Ez a tartalmazás minden G-beli g elemre, így speciálisan g inverzére is teljesül, azaz:
Ez azt jelenti, hogy tetszőleges n\in N esetén a g^{-1}ng szorzat is N-ben van. Azaz létezik olyan m\in N, hogy teljesül az alábbi egyenlet:
Ezt az egyenletet balról g-vel, jobbról pedig g^{-1}-gyel szorozva ezt kapjuk:
Ez épp azt jelenti, hogy n\in gNg^{-1}, tehát teljesül a másik irányú tartalmazás is:
A gNg^{-1} és N halmazok tehát kölcsönösen tartalmazzák egymást, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az alábbi halmazegyenlőség:
∎