Bizonyítás
Itt ismét két halmazrendszer elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni mindkét irányban. Az első halmazrendszer a K\leq G részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{K}-val. A második halmazrendszer pedig az L\leq H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{L}-lel. A tétel szövege alapján K az L részcsoport teljes inverz képe, azaz K=f^{-1}(L). A bizonyításhoz a 24.7. Tételben szereplő ekvivalenciarelációt fogjuk használni, amely a baloldali mellékosztályokat kijelöli a G és a H csoportokban.
Először egy segédállítást igazolunk, miszerint tetszőleges g\in G esetén teljesül az alábbi egyenlőség:
Itt f(g)L az f(g) elemet tartalmazó L szerinti baloldali mellékosztály, a gK pedig a g elemet tartalmazó K szerinti baloldali mellékosztály.
f^{-1}(f(g)L)=gK igazolása
Legyen x egy tetszőleges elem G-ben. Azt fogjuk megmutatni, hogy x akkor és csak akkor van benne f^{-1}(f(g)L)-ben, ha benne van gK-ban.
A 25.12. Definíció alapján x akkor és csak akkor eleme f^{-1}(f(g)L)-nek, ha:
Ez a 24.7. Tétel szerint akkor és csak akkor teljesül, ha f(x) ugyanabban az L szerinti baloldali mellékosztályban van, mint f(g), azaz ha:
Mivel f csoporthomomorfizmus, amely a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést is, így ez akkor és csak akkor teljesül, ha:
A 25.12. Definíció alapján ez viszont akkor és csak akkor áll fenn, ha g^{-1}x eleme L teljes inverz képének, azaz K-nak, tehát ha:
Ez a 24.7. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha x ugyanabban a K szerinti baloldali mellékosztályban van, mint g, azaz ha x\in gK. Mivel x tetszőleges volt, ezzel igazoltuk, hogy f^{-1}(f(g)L)=gK.
Másodszor azt vizsgáljuk meg, hogy tetszőleges g\in G elem esetén a tételben szereplő k megfeleltetés a gK baloldali mellékosztályhoz vajon valóban egy C_L\in \mathcal{L} baloldali mellékosztályt rendel-e hozzá.
Mivel f szürjektív, ezért f(G)=H, így H minden X részhalmaza esetén a 25.12. Definíció utáni megjegyzés alapján teljesül az alábbi halmazegyenlőség:
Ezt speciálisan az X=f(g)L baloldali mellékosztályra alkalmazva, és a segédállítást felhasználva azt kapjuk, hogy a gK baloldali mellékosztály f szerinti képe valóban egy L szerinti baloldali mellékosztály, méghozzá:
Így a k megfeleltetés – amely tehát mindegyik C_K\in \mathcal{K} baloldali mellékosztályt összepárosítja az f(C_K)\in \mathcal{L} baloldali mellékosztállyal – tényleg tekinthető egy \mathcal{K}-ból \mathcal{L}-be mutató függvénynek is:
Harmadszor ehhez hasonlóan tetszőleges h\in H elem esetén vizsgáljuk most meg, hogy a tételben szereplő l megfeleltetés a hL baloldali mellékosztályhoz vajon valóban egy C_K\in \mathcal{K} baloldali mellékosztályt rendel-e hozzá.
Mivel f szürjektív, ezért van olyan g\in G, amelyre h=f(g). A segédállítás szerint ekkor a hL baloldali mellékosztály f szerinti teljes inverz képe tényleg egy K szerinti baloldali mellékosztály, méghozzá:
Így az l megfeleltetés – amely tehát mindegyik C_L\in \mathcal{L} baloldali mellékosztályt összepárosítja az f^{-1}(C_L)\in \mathcal{K} baloldali mellékosztállyal – tényleg tekinthető egy \mathcal{L}-ből \mathcal{K}-ba mutató függvénynek is:
A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló baloldali mellékosztályt kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges C_K\in \mathcal{K} és C_L\in \mathcal{L} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelési láncok érvényességét:
A második hozzárendelési lánc érvényessége azonnal adódik a fentebb igazolt f(f^{-1}(X))=X halmazegyenlőségből, hiszen minden C_L\in \mathcal{L} baloldali mellékosztály H részhalmaza. Ezt X=C_L-re alkalmazva valóban teljesül, hogy:
Az első hozzárendelési lánc érvényessége is egyszerűen adódik. Ehhez reprezentáljuk a C_K baloldali mellékosztályt valamelyik g elemével, azaz:
Fentebb láttuk, hogy teljesülnek az alábbiak:
Ezeket összevetve valóban teljesül, hogy:
Ezzel igazoltuk, hogy a k és l függvények egymás megfordításai, vagyis mindkettő kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít a \mathcal{K} és \mathcal{L} halmazrendszerek között.
A jobboldali mellékosztályokra vonatkozó állítás ugyanígy igazolható, csak ekkor a 24.7. Tételben szereplő másik ekvivalenciarelációt kell használni, amely a jobboldali mellékosztályokat jelöli ki.
∎