Bizonyítás

Azt kell megmutatni, hogy f(g) valóban H generátoreleme. Legyen ezért h a H csoport tetszőleges eleme. Mivel az f csoporthomomorfizmus szürjektív, ezért biztosan létezik olyan x elem G-ben, amelynek épp h az f szerinti képe, azaz:

f(x)=h

Mivel G ciklikus, ezért ez a bizonyos x kifejezhető a g generátorelem egész kitevős hatványaként, azaz létezik olyan n egész szám, hogy teljesül az alábbi:

f(\underbrace{g^n}_{=x})=h

Ha n pozitív, akkor ez a kifejezés a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

f(\underbrace{g\cdot g\cdot \ldots g}_{\text{n darab}})=h

Ám ekkor f művelettartó tulajdonsága miatt a baloldal átírható az alábbi módon:

\underbrace{f(g)\cdot f(g)\cdot \ldots f(g)}_{\text{n darab}}=(f(g))^n=h

Azaz ebben az esetben h kifejezhető f(g) egész kitevős hatványaként.

Ha n negatív, akkor vezessük be a k=-n jelölést. Ilyenkor tehát k pozitív, és f(g^{-k})=h a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

f(\underbrace{g^{-1}\cdot g^{-1}\cdot \ldots g^{-1}}_{\text{k darab}})=h

Mivel f a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést, ezért a baloldal átírható az alábbi módon:

\underbrace{(f(g))^{-1}\cdot (f(g))^{-1}\cdot \ldots (f(g))^{-1}}_{\text{k darab}}=(f(g))^{-k}=h

Azaz h ebben az esetben is kifejezhető f(g) egész kitevős hatványaként.

Végül ha n=0, akkor a 24.9. Definíció alapján g^n épp a G csoport egységeleme. Mivel a 25.2. Lemma 1. pontja alapján egységelem képe egységelem, ezért ebben az esetben h szükségképpen a H csoport egységeleme, amely nyilván kifejezhető f(g)-nek a nulladik hatványaként. A H csoport tehát valóban ciklikus, melynek generátoreleme f(g).

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre