youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 25.23. Tétel és a 25.24. Tétel alapján a \Z^+ illetve a (\Z/m\Z)^+ csoportok ciklikusak. Ezért ha G izomorf valamelyikükkel, akkor a 25.25. Tétel alapján G is ciklikus, hiszen a csoportizomorfizmus a 25.1. Definíció alapján egy szürjektív csoporthomomorfizmus.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy G ciklikus, és legyen g egy generátorelem. Ekkor G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként.

Ha g rendje végtelen, akkor tekintsük azt az f:\Z^+\to G függvényt, amely minden n egész számhoz hozzárendeli a g^n elemet. Mivel a 24.13. Tétel 6. pontja alapján g bármely két hatványa különbözik, ezért ez a függvény injektív lesz, hiszen különböző egész számok képe különböző G-beli elem lesz. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként – hiszen ciklikus –, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságairól szóló 24.11. Tétel 3. pontjából következik:

f(n+k)=g^{n+k}=g^n\cdot g^k=f(n)\cdot f(k)

Azaz G ebben az esetben izomorf a \Z^+ csoporttal.

Ha g rendje véges – például m –, akkor tekintsük azt az f:(\Z/m\Z)^+\to G függvényt, amely minden [n]_m maradékosztályhoz hozzárendeli a g^n elemet. Ez egy értelmes, azaz jóldefiniált hozzárendelés, hiszen ha [n]_m=[k]_m, akkor n\equiv k\pmod m, és így a 24.13. Tétel 1. pontja alapján g^n=g^k. Tehát az eredmény nem függ a maradékosztály reprezentánselemének megválasztásától.

Tekintsünk most két tetszőleges maradékosztályt. Legyenek ezek például [n]_m és [k]_m, továbbá tegyük fel, hogy teljesül az alábbi:

f([n]_m)=f([k]_m)

Az f függvény definíciója alapján ez az egyenlet így írható fel:

g^n=g^k

Ám mivel g rendje véges, ezért a 24.13. Tétel 1. pontja alapján ekkor teljesül az alábbi kongruencia:

n\equiv k\pmod m

Ez viszont azt jelenti, hogy n és k ugyanazt a modulo m maradékosztályt reprezentálják, azaz:

[n]_m=[k]_m

Vagyis különböző maradékosztályok képei nem lehetnek azonosak, így az f függvény injektív. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként, és bármely egész szám reprezentál valamilyen modulo m maradékosztályt, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni.

Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságairól szóló 24.11. Tétel 3. pontjából, továbbá a maradékosztályok közötti összeadás definíciójából következik:

f([n]_m+[k]_m)=f([n+k]_m)=g^{n+k}=g^n\cdot g^k=f([n]_m)\cdot f([k]_m)

Azaz G ebben az esetben izomorf a (\Z/m\Z)^+ csoporttal.

∎