24.13. Tétel
Csoportelem rendjére vonatkozó összefüggések
Legyen G tetszőleges csoport, g ennek valamely eleme, e pedig az egységelem. Ha g rendje véges, akkor tetszőleges n és k egész számok esetén igazak az alábbiak:
1.
g^k=g^n akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az o(g)|k-n oszthatóság, ami a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi kongruenciát jelenti:
k\equiv n\pmod{o(g)}
2.
g^k=e akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az o(g)|k oszthatóság, ami a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi kongruenciát jelenti:
k\equiv 0\pmod{o(g)}
4.
A g elem o(g) rendje az a legkisebb pozitív kitevő, amelyre g-t emelve az egységelemet kapjuk. Másként fogalmazva: ha valamilyen n\gt 0 egész szám esetén g^n=e, akkor
o(g)\leq n
5.
o(g)=1 akkor és csak akkor, ha g=e.
Végül:
6.
♣