youproof.orgDeep Math. Human Access.

20.1. Tétel

Egész számok közötti kongruencia

Legyen aa és bb két tetszőleges, valamint m≥0m\geq 0 egy nemnegatív egész szám. Jelöljük továbbá II-vel az mm által generált főideált, azaz I=(m)I=(m). Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1.
Amennyiben m>0m\gt 0, úgy a 18.20. Definíció szerinti a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha aa és bb ugyanazt a nemnegatív maradékot adja mm-mel osztva.
2.
Amennyiben m=0m=0, úgy az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha a=ba=b.
3.
Általánosságban az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az m∣a−bm|a-b oszthatóság.
4.
Speciálisan amennyiben m=1m=1, úgy az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia mindig teljesül.

Az aa és bb egész számok közötti, I=(m)I=(m) főideál szerinti kongruenciát illetve inkongruenciát speciálisan így jelöljük:

a≡b(modm)a ≡ b(modm)\begin{aligned} &a\equiv b\pmod m \\ &a\ \cancel{\equiv}\ b\pmod m \end{aligned}

Ilyenkor azt mondjuk, hogy aa kongruens illetve inkongruens bb-vel az mm modulus szerint (vagy "modulo mm").

♣