Generált részgyűrű és ideál

Legyen $R$ egy tetszőleges gyűrű, továbbá $X$ az $R$ gyűrűnek egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük $\mathcal{X}$-szel azt az $R$ fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részgyűrűk $R$-ben, amelyek tartalmazzák $X$-et.

Ekkor $\mathcal{X}$-ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az $X$ által generált részgyűrűnek nevezünk, és $⟨X⟩$-szel jelölünk. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az $X$ részhalmaz generálja ezt a bizonyos részgyűrűt – amely természetesen lehet maga a teljes $R$ is, mint triviális részgyűrű.

Ugyanilyen értelemben beszélhetünk az $X$ által generált bal-, jobb- vagy kétoldali ideálról is.

♣

• ↓Alárendelt lap:Bizonyítás