youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 19.8. Tétel alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen lesz.

Mivel XX az RR gyűrű tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan részgyűrű, amely tartalmazza XX-et? Erre természetesen igen a válasz, hiszen "legrosszabb esetben" maga a teljes RR egy ilyen részgyűrű. Az X\mathcal{X} halmazrendszer tehát biztosan nem üres.

Most képezzük az X\mathcal{X} halmazrendszer összes elemének metszetét, és jelöljük ezt a halmazt SS-sel. Minthogy X\mathcal{X} elemei részgyűrűk RR-ben, így a 19.9. Tétel alapján SS is részgyűrű RR-ben. Továbbá az XX-ről azt mondtuk, hogy ő részhalmaza minden X\mathcal{X}-beli részgyűrűnek, emiatt részhalmaza ezek metszetének, azaz SS-nek is.

Ez viszont azt jelenti, hogy SS maga is az X\mathcal{X} halmazrendszer eleme, hiszen ő is egy XX-et tartalmazó részgyűrű RR-ben. Ráadásul mivel ő a metszete X\mathcal{X} összes elemének, ezért egyben részhalmaza is azoknak. Másként fogalmazva bármilyen T∈XT\in \mathcal{X} részgyűrűre teljesül, hogy S⊆TS\sube T. Ez a 19.7. Definíció szerint viszont épp azt jelenti, hogy SS nem más, mint az X\mathcal{X} halmazrendszer legszűkebb eleme. Más szavakkal SS a legszűkebb olyan részgyűrű RR-ben, amely tartalmazza az XX részhalmazt, azaz a tételbeli jelölést használva:

S=⟨X⟩S=\lang X\rang

A legszűkebb XX-et tartalmazó bal-, jobb-, illetve kétoldali ideál létezésére és egyértelműségére vonatkozó állítás a fentiekhez teljesen hasonló módon igazolható.

∎