19.9. Tétel
Ideálok metszete ideál
Legyen R egy tetszőleges gyűrű, valamint legyen \mathcal{S} egy olyan R feletti halmazrendszer, amely R valahány – akár végtelen számú – részgyűrűjéből áll. Ekkor az \mathcal{S}-ben lévő halmazok metszete is részgyűrű R-ben.
Ehhez hasonlóan ha az \mathcal{I} egy olyan halmazrendszer, amely R valahány – akár végtelen számú – balideáljából (illetve jobbideáljából) áll, akkor az \mathcal{I}-ben lévő halmazok metszete is balideál (illetve jobbideál) R-ben.
Végül ha \mathcal{J} egy olyan halmazrendszer, amely R valahány – akár végtelen számú – (kétoldali) ideáljából áll, akkor a \mathcal{J}-ben lévő halmazok metszete is (kétoldali) ideál R-ben.
♣