youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Nézzük először a részgyűrűk metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük SS-sel az S\mathcal{S} halmazrendszerben lévő részgyűrűk metszetét. Azt kell megmutatni, hogy SS részgyűrű RR-ben. Ez a 18.15. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha SS zárt az RR-beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint tartalmazza az RR gyűrű nullelemét.

Mivel S\mathcal{S} minden eleme részgyűrű, így a 18.15. Tétel miatt mindegyik tartalmazza az RR gyűrű nullelemét. A nullelem tehát valóban benne van ezek metszetében, azaz SS-ben.

Legyen most xx az SS halmaz egy tetszőleges eleme. Mivel SS az S\mathcal{S}-beli részgyűrűk metszete, így xx e részgyűrűk mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 18.15. Tétel miatt zártak az ellentettképzésre. Így −x-x is eleme az összes S\mathcal{S}-beli részgyűrűnek, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz SS-ben.

Végül legyen xx és yy az SS halmaz két tetszőleges eleme. Mivel SS az S\mathcal{S}-beli részgyűrűk metszete, így xx és yy e részgyűrűk mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 18.15. Tétel miatt zártak az összeadásra és szorzásra. Így az x+yx+y összeg, valamint az x⋅yx\cdot y szorzat is eleme az összes S\mathcal{S}-beli részgyűrűnek, vagyis valóban benne vannak ezek metszetében, azaz SS-ben. Az SS tehát valóban részgyűrű RR-ben, ahogyan a tétel állítja.

Most nézzük a balideálok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük II-vel az I\mathcal{I} halmazrendszerben lévő balideálok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy II balideál RR-ben. Ez a 18.18. Definíció szerint azt jelenti, hogy egyrészt II részgyűrű RR-ben, másrészt akármelyik a∈Ia\in I elemet balról megszorozva akármelyik r∈Rr\in R elemmel, az így kapott r⋅ar\cdot a szorzat szintén benne van II-ben. Minthogy I\mathcal{I} minden eleme részgyűrű RR-ben – hiszen balideál –, ezért a már bizonyított állítás alapján II is részgyűrű RR-ben. Elegendő tehát csak a baloldali szorzásra vonatkozó feltételt ellenőrizni.

Tegyük fel, hogy aa az II részgyűrű, rr pedig az RR gyűrű egy tetszőleges eleme. Mivel II az I\mathcal{I}-beli balideálok metszete, így aa e balideálok mindegyikének szintén eleme. Emiatt az r⋅ar\cdot a szorzat is benne van az összes I\mathcal{I}-beli balideálban, tehát ezek metszetében is, azaz II-ben. Emiatt II valóban balideál RR-ben.

A jobbideálok metszetére vonatkozó állítás értelemszerűen ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható azzal a különbséggel, hogy ekkor az r⋅ar\cdot a szorzat helyett az a⋅ra\cdot r szorzatot kell tekinteni.

Végül a (kétoldali) ideálok metszetére vonatkozó állítás triviálisan adódik, hiszen minden (kétoldali) ideál egyszerre bal- és jobbideál.

∎