youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az 1. állítás: Minthogy II egy ideál az egész számok Z\Z gyűrűjében, ezért a 18.24. Következmény miatt ő biztosan magja egy valamilyen Z\Z-ből kiinduló ff gyűrűhomomorfizmusnak. Ugyanezen tétel, valamint a 18.12. Definíció utáni megjegyzés miatt azonban a 18.20. Definícióban bevezetett II ideál szerinti kongruencia és a 18.9. Definícióban bevezetett ff gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia két egymással teljesen ekvivalens reláció. Ez azt jelenti, hogy az alábbiak egyszerre teljesülnek, vagy nem teljesülnek:

a≡b(I)a≡b(f)\begin{aligned} a&\equiv b\pod I\\ a&\equiv b\pod f \end{aligned}

Azaz nincs más dolgunk, mint találni egy olyan ff gyűrűhomomorfizmust, amelynek a magja éppen az II ideál. Vegyük észre, hogy mivel most m≠0m\neq 0, ezért a 18.3. Definícióban bevezetett  mod m\bmod_m-mel jelölt modulo mm maradékképző függvény értelmezhető, és épp megfelel erre a célra. Ez a függvény ugyanis a 18.7. Tétel alapján egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus az egész számok Z\Z és a modulo mm maradékok ZmZ_m gyűrűje között. Ennek magja ráadásul épp az I=(m)I=(m) főideál, hiszen ez pontosan az mm egész szám többszöröseit tartalmazza. Márpedig ezekhez – és csak ezekhez – a  mod m\bmod_m maradékképző függvény a 00 maradékot rendeli hozzá.

Eszerint tehát az a≡b(I)a\equiv b\pod I ideál szerinti kongruencia pontosan akkor teljesül, amikor teljesül az a≡b( mod m)a\equiv b\pod{\bmod_m} gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia. Ez utóbbi viszont pontosan akkor teljesül, ha a  mod m\bmod_m maradékképző függvény aa-hoz és bb-hez ugyanazt a maradékot rendeli hozzá.

A 2. állítás: Amennyiben m=0m=0, akkor nem értelmezett a  mod m\bmod_m maradékképző függvény, így ebben az esetben a 18.20. Definícióban bevezetett ideál szerinti kongruenciából kell kiindulnunk. Eszerint az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a−ba-b különbség benne van az II ideálban. Ez az ideál azonban nem más, mint az m=0m=0 által generált főideál. Minthogy a 16.2. Tétel 4. pontja alapján a 00-nak önmagán kívül nincs más többszöröse, ezért a (0)(0) főideál mindössze a 00 egész számból fog állni.

Eszerint tehát az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia pontosan akkor teljesül, ha a−b=0a-b=0, vagy másként fogalmazva a=ba=b.

A 3. állítás az 1. és a 2. állítások általánosítása. Az I=(m)I=(m) főideál ugyanis pontosan az mm egész szám többszöröseit tartalmazza. Emiatt az a−ba-b különbség pontosan akkor van benne ebben az ideálban – azaz teljesül az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia –, ha fennáll az m∣a−bm|a-b oszthatóság.

A 4. állítás a 3. állítás speciális esete. Ebben az esetben I=(1)I=(1), de mivel az 11 egész szám a Z\Z gyűrű egységeleme, ezért a 16.3. Definíció utáni megjegyzés miatt egyúttal egység is. Minthogy egy egységnek minden elem többszöröse, ezért az I=(1)I=(1) főideál valójában a teljes Z\Z gyűrű lesz. Azaz ebben az esetben valóban mindig teljesül az a≡b(I)a\equiv b\pod I kongruencia.

∎