youproof.orgDeep Math. Human Access.

Megjegyzés

A 18.9. Definícióban szereplő kongruenciára a most definiált fogalom segítségével egy alternatív definíciót is adhatunk. Nevezetesen: az RR gyűrű valamely aa és bb elemei között akkor és csak akkor teljesül az ff szerinti kongruencia – tehát az a≡b(f)a\equiv b\pod f reláció –, ha az a−ba-b különbség benne van ff magjában.

Nyilván, hiszen a≡b(f)a\equiv b\pod f a 18.9. Definíció alapján pontosan azt jelenti, hogy

f(a)=f(b)f(a)=f(b)

Mindkét oldalhoz f(b)f(b) ellentettjét adva, valamint kihasználva ff összegtartó és a 18.11. Lemma 2. pontja szerinti ellentettképzéstartó tulajdonságát, ezt kapjuk:

f(a)⊕(⊖f(b))=f(a−b)=0Sf(a)\oplus(\ominus f(b))=f(a-b)=0_S

Ez viszont épp azt jelenti, hogy az a−ba-b különbség benne van ff magjában.

♣