18.11. Lemma
Az összegtartó leképezés nullelem- és ellentettképzéstartó
Legyen adva egy (R,+,\cdot) és egy (S,\oplus,\odot) gyűrű, valamint egy közöttük lévő f:R\to S függvény, amelyre tetszőleges R-beli a és b elemek esetén teljesül az alábbi:
f(a)\oplus f(b) = f(a+b)
Azaz f legyen összegtartó. Ekkor igazak az alábbiak:
2.
Jelölje - az R-beli, míg \ominus az S-beli ellentettképzést. Ekkor minden R-beli a elemre teljesül az alábbi:
f(-a)=\ominus f(a)
Szavakkal: egy összegtartó leképezés az ellentettképzést és a nullelemet is tartja. Azaz egyrészt az R gyűrű nullelemének képe az S gyűrű nulleleme, másrészt bármely R-beli elem R-beli ellentettjének képe az elem képének S-beli ellentettje.
♣