youproof.orgDeep Math. Human Access.

18.11. Lemma

Az összegtartó leképezés nullelem- és ellentettképzéstartó

Legyen adva egy (R,+,⋅)(R,+,\cdot) és egy (S,⊕,⊙)(S,\oplus,\odot) gyűrű, valamint egy közöttük lévő f:R→Sf:R\to S függvény, amelyre tetszőleges RR-beli aa és bb elemek esetén teljesül az alábbi:

f(a)⊕f(b)=f(a+b)f(a)\oplus f(b) = f(a+b)

Azaz ff legyen összegtartó. Ekkor igazak az alábbiak:

1.
Jelölje 0R0_R az RR gyűrű, míg 0S0_S az SS gyűrű nullelemét. Ekkor:
f(0R)=0Sf(0_R)=0_S
2.
Jelölje −- az RR-beli, míg ⊖\ominus az SS-beli ellentettképzést. Ekkor minden RR-beli aa elemre teljesül az alábbi:
f(−a)=⊖f(a)f(-a)=\ominus f(a)

Szavakkal: egy összegtartó leképezés az ellentettképzést és a nullelemet is tartja. Azaz egyrészt az RR gyűrű nullelemének képe az SS gyűrű nulleleme, másrészt bármely RR-beli elem RR-beli ellentettjének képe az elem képének SS-beli ellentettje.

♣