youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az 1. állítás: Mivel egyrészt 0R0_R az RR gyűrű nulleleme, valamint ff tartja az összeadást, ezért az RR gyűrű tetszőleges aa elemére felírható az alábbi:

f(a)=f(a+0R)=f(a)⊕f(0R)f(a)=f(a+0_R)=f(a)\oplus f(0_R)

Másrészt, mivel 0S0_S az SS gyűrű nulleleme, ezért:

f(a)=f(a)⊕0Sf(a)=f(a)\oplus 0_S

Ezt a kettőt egymással összevetve az alábbit kapjuk:

f(a)⊕f(0R)⏟=f(a)=f(a)⊕0S⏟=f(a)\underbrace{f(a)\oplus f(0_R)}_{=f(a)}=\underbrace{f(a)\oplus 0_S}_{=f(a)}

Ha mindkét oldalhoz hozzáadjuk az f(a)f(a) elem SS-beli ellentettjét, akkor megkapjuk az 1. állítást:

f(0R)=0Sf(0_R)=0_S

A 2. állítás: Legyen aa az RR gyűrű valamely tetszőleges eleme, amelynek RR-beli ellentettjét jelöljük −a-a-val. Ekkor az 1. állítás miatt:

f(a+(−a))=f(0R)=0Sf(a+(-a))=f(0_R)=0_S

Másrészt viszont ff tartja az összeadást, ezért:

f(a+(−a))=f(a)⊕f(−a)f(a+(-a))=f(a)\oplus f(-a)

Ezt a kettőt egymással összevetve ezt kapjuk:

0S⏟=f(a+(−a))=f(a)⊕f(−a)⏟=f(a+(−a))\underbrace{0_S}_{=f(a+(-a))}=\underbrace{f(a)\oplus f(-a)}_{=f(a+(-a))}

Mivel azt kaptuk, hogy f(a)f(a) és f(−a)f(-a) összege épp az SS gyűrű nulleleme, valamint a 14.10. Tétel alapján az ellentettképzés egyértelmű, ezért f(−a)f(-a) valóban az f(a)f(a) elem SS-beli ellentettjével egyezik meg, ahogyan a tétel állítja.

∎