Bizonyítás
Az 1. állítás: Mivel egyrészt 0_R az R gyűrű nulleleme, valamint f tartja az összeadást, ezért az R gyűrű tetszőleges a elemére felírható az alábbi:
f(a)=f(a+0_R)=f(a)\oplus f(0_R)
Ezt a kettőt egymással összevetve az alábbit kapjuk:
\underbrace{f(a)\oplus f(0_R)}_{=f(a)}=\underbrace{f(a)\oplus 0_S}_{=f(a)}
Ha mindkét oldalhoz hozzáadjuk az f(a) elem S-beli ellentettjét, akkor megkapjuk az 1. állítást:
f(0_R)=0_S
A 2. állítás: Legyen a az R gyűrű valamely tetszőleges eleme, amelynek R-beli ellentettjét jelöljük -a-val. Ekkor az 1. állítás miatt:
f(a+(-a))=f(0_R)=0_S
Másrészt viszont f tartja az összeadást, ezért:
f(a+(-a))=f(a)\oplus f(-a)
Ezt a kettőt egymással összevetve ezt kapjuk:
\underbrace{0_S}_{=f(a+(-a))}=\underbrace{f(a)\oplus f(-a)}_{=f(a+(-a))}
Mivel azt kaptuk, hogy f(a) és f(-a) összege épp az S gyűrű nulleleme, valamint a 14.10. Tétel alapján az ellentettképzés egyértelmű, ezért f(-a) valóban az f(a) elem S-beli ellentettjével egyezik meg, ahogyan a tétel állítja.
∎