Megjegyzés

Ez nem tévesztendő össze az egységelem fogalmával, amely a 14.12. Definíció alapján a gyűrű $\cdot$-tal jelölt műveletének neutrális eleme.

Igaz ugyanakkor, hogy egy gyűrű egységeleme – amennyiben létezik – mindig egység. Ugyanis bármely $a$ elem esetén $1\cdot a=a$, amely viszont épp azt jelenti, hogy $1|a$. Igaz továbbá, hogy az egységelem ellentettje is egység, hiszen a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az $1|a$ oszthatóságból következik a $(-1)|a$ oszthatóság.

Egyáltalán nem biztos azonban, hogy egy gyűrűben csak ez a két egység létezik. Egy testben például a nullelemen kívül minden elem egység, ugyanis az oszthatóság a 16.1. Definíciója utáni megjegyzés alapján itt minden elem osztható bármilyen nemnulla elemmel.

Megjegyezzük ugyanakkor, hogy nem csak ez a két szélsőséges eset lehetséges. Vannak olyan gyűrűk is, amelyekben az egységelemen és ellentettjén kívül is létezik egység, ugyanakkor nem minden eleme az. Ilyen gyűrű például az egész számok egyfajta általánosításának tekinthető úgynevezett Gauss-egészek gyűrűje, amelyben összesen négy egység van. Ennek részleteitől azonban – az úgynevezett komplex számok ismeretének hiányában – ebben a cikksorozatban eltekintünk.

♣