youproof.orgDeep Math. Human Access.

20.5. Tétel

Egész számok maradékosztálygyűrűi

Legyen 0≤m0\leq m egy tetszőleges nemnegatív egész szám, és jelöljük Z/mZ\Z/m\Z-vel azt a halmazt, amelynek elemei a 20.4. Tételben definiált modulo mm maradékosztályok. Ha aa valamilyen egész szám, akkor jelöljük [a]m[a]_m-mel az aa-t tartalmazó modulo mm maradékosztályt. Ilyenkor az aa egész számot az [a]m[a]_m maradékosztály reprezentánsának (vagy reprezentáns elemének) nevezzük, és azt mondjuk, hogy aa reprezentálja az [a]m[a]_m maradékosztályt.

Most bevezetünk két műveletet a Z/mZ\Z/m\Z halmazon. Ha [a]m[a]_m és [b]m[b]_m két maradékosztály Z/mZ\Z/m\Z-ben, akkor ezek ⊕\oplus-szal jelölt összege illetve ⊙\odot-tal jelölt szorzata legyen rendre az alábbi két maradékosztály:

[a]m⊕[b]m=[a+b]m[a]m⊙[b]m=[a⋅b]m\begin{aligned} [a]_m\oplus [b]_m&=[a+b]_m \\ [a]_m\odot [b]_m&=[a\cdot b]_m \end{aligned}

Ekkor a Z/mZ\Z/m\Z halmaz ezzel a két művelettel egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot, amelyet modulo mm maradékosztálygyűrűnek nevezünk. E gyűrű nulleleme a [0]m[0]_m, egységeleme pedig az [1]m[1]_m maradékosztály.

Tekintsük továbbá azt az f:Z→Z/mZf:\Z\to \Z/m\Z függvényt, amely minden aa egész számhoz az [a]m[a]_m maradékosztályt rendeli hozzá. Ekkor ff egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus Z\Z és Z/mZ\Z/m\Z között, melynek magja az mm egész szám többszöröseinek halmaza.

♣