20.5. Tétel
Egész számok maradékosztálygyűrűi
Legyen 0\leq m egy tetszőleges nemnegatív egész szám, és jelöljük \Z/m\Z-vel azt a halmazt, amelynek elemei a 20.4. Tételben definiált modulo m maradékosztályok. Ha a valamilyen egész szám, akkor jelöljük [a]_m-mel az a-t tartalmazó modulo m maradékosztályt. Ilyenkor az a egész számot az [a]_m maradékosztály reprezentánsának (vagy reprezentáns elemének) nevezzük, és azt mondjuk, hogy a reprezentálja az [a]_m maradékosztályt.
Most bevezetünk két műveletet a \Z/m\Z halmazon. Ha [a]_m és [b]_m két maradékosztály \Z/m\Z-ben, akkor ezek \oplus-szal jelölt összege illetve \odot-tal jelölt szorzata legyen rendre az alábbi két maradékosztály:
Ekkor a \Z/m\Z halmaz ezzel a két művelettel egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot, amelyet modulo m maradékosztálygyűrűnek nevezünk. E gyűrű nulleleme a [0]_m, egységeleme pedig az [1]_m maradékosztály.
Tekintsük továbbá azt az f:\Z\to \Z/m\Z függvényt, amely minden a egész számhoz az [a]_m maradékosztályt rendeli hozzá. Ekkor f egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus \Z és \Z/m\Z között, melynek magja az m egész szám többszöröseinek halmaza.
♣