Bizonyítás

A modulo m maradékosztályok pontosan az (m) főideál szerinti maradékosztályokkal egyeznek meg. Emiatt a \Z/m\Z halmaz a tételben bevezetett \oplus és \odot műveletekkel nem más, mint a \Z gyűrűnek az (m) főideál szerinti faktorgyűrűje, azaz a 18.23. Tételben bevezetett jelölésekkel \Z/(m). Innentől kezdve a bizonyítás teljesen megegyezik a 18.23. Tétel bizonyításával.

Mivel \Z kommutatív és egységelemes, ezért a 18.23. Tétel 4. és 3. pontja alapján a \Z/(m)=\Z/m\Z faktorgyűrű is az, amelynek egységeleme az 1+(m) maradékosztály, ami épp az [1]_m modulo m maradékosztálynak felel meg. Ehhez hasonlóan a 18.23. Tétel 1. pontja alapján a nullelem a 0+(m) maradékosztály, ami pedig épp a [0]_m modulo m maradékosztálynak felel meg.

Végül a tételben szereplő f függvény a 18.23. Tétel 5. pontja alapján épp a természetes gyűrűhomomorfizmus, amelynek magja az (m) főideál, és amely valóban az m egész szám többszöröseit tartalmazza.

∎