Bizonyítás

A modulo $m$ maradékosztályok pontosan az $(m)$ főideál szerinti maradékosztályokkal egyeznek meg. Emiatt a $\Z/m\Z$ halmaz a tételben bevezetett $\oplus$ és $\odot$ műveletekkel nem más, mint a $\Z$ gyűrűnek az $(m)$ főideál szerinti faktorgyűrűje, azaz a 18.23. Tételben bevezetett jelölésekkel $\Z/(m)$. Innentől kezdve a bizonyítás teljesen megegyezik a 18.23. Tétel bizonyításával.

Mivel $\Z$ kommutatív és egységelemes, ezért a 18.23. Tétel 4. és 3. pontja alapján a $\Z/(m)=\Z/m\Z$ faktorgyűrű is az, amelynek egységeleme az $1+(m)$ maradékosztály, ami épp az $[1]_m$ modulo $m$ maradékosztálynak felel meg. Ehhez hasonlóan a 18.23. Tétel 1. pontja alapján a nullelem a $0+(m)$ maradékosztály, ami pedig épp a $[0]_m$ modulo $m$ maradékosztálynak felel meg.

Végül a tételben szereplő $f$ függvény a 18.23. Tétel 5. pontja alapján épp a természetes gyűrűhomomorfizmus, amelynek magja az $(m)$ főideál, és amely valóban az $m$ egész szám többszöröseit tartalmazza.

∎