youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 24.13. Tétel 4. pontja alapján tehát azt a legkisebb pozitív m kitevőt keressük, amellyel a g^k elemet hatványozva a csoport e-vel jelölt egységelemét kapjuk. Ez a hatvány a 24.11. Tétel 2. pontja alapján a g elem mk-adik hatványa lesz, azaz felírható az alábbi egyenlet:

(g^k)^m=g^{mk}=e

Ez a 24.13. Tétel 2. pontja alapján akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az alábbi kongruencia:

mk\equiv 0\pmod d

Mivel itt mind a baloldal, mind pedig a jobboldal osztható k-val, ezért alkalmazható a kongruenciák egyszerűsítéséről szóló a 20.3. Tétel, miszerint fennáll az alábbi kongruencia is:

m\equiv 0\pmod{\frac{d}{(d,k)}}

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja alapján azt jelenti, hogy teljesül az alábbi oszthatóság:

\frac{d}{(d,k)}|m

Azt kaptuk tehát, hogy m a legkisebb olyan pozitív egész szám, amely teljesíti ezt az oszthatóságot. Így tehát ő a 17.2. Lemma alapján szükségképpen \frac{d}{(d,k)}-val egyezik meg. Azaz g^k rendjére valóban megkaptuk a tételben szereplő képletet:

o(g^k)=m=\frac{d}{(d,k)}

∎