Bizonyítás

Nézzük először a részcsoportok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük H-val a \mathcal{H} halmazrendszerben lévő részcsoportok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy H részcsoport G-ben. Ez a 24.5. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha H zárt a G-beli csoportműveletre és inverzképzésre nézve, valamint tartalmazza G egységelemét.

Mivel \mathcal{H} minden eleme részcsoport, így a 24.5. Tétel miatt mindegyik tartalmazza G egységelemét, amely tehát valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban.

Legyen most x a H halmaz egy tetszőleges eleme. Mivel H a \mathcal{H}-beli részcsoportok metszete, így x e részcsoportok mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 24.5. Tétel miatt zártak az inverzképzésre. Így x^{-1} is eleme az összes \mathcal{H}-beli részcsoportnak, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban.

Végül legyen x és y a H halmaz két tetszőleges eleme. Mivel H a \mathcal{H}-beli részcsoportok metszete, így x és y e részcsoportok mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 24.5. Tétel miatt zártak a G-beli csoportműveletre nézve. Így az xy szorzat is eleme az összes \mathcal{H}-beli részcsoportnak, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban. A H halmaz tehát valóban részcsoport G-ben, ahogyan a tétel állítja.

Most nézzük a normálosztók metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük N-nel az \mathcal{N} halmazrendszerben lévő normálosztók metszetét. Azt kell megmutatni, hogy N normálosztó G-ben. Ez a 25.6. Definíció szerint azt jelenti, hogy egyrészt N részcsoport G-ben, másrészt minden n\in N és g\in G esetén a gng^{-1} konjugált benne van N-ben. Minthogy \mathcal{N} minden eleme részcsoport G-ben – hiszen normálosztó –, ezért a már bizonyított állítás alapján ezek metszete, azaz N is részcsoport G-ben. Elegendő tehát csak a második feltételt ellenőrizni.

Legyen g tetszőleges G-beli, n pedig tetszőleges N-beli elem. Mivel N az \mathcal{N} halmazrendszerben lévő halmazok metszete, ezért \mathcal{N} minden eleme szintén tartalmazza n-et. Továbbá mivel ezek normálosztók, ezért a 25.6. Definíció alapján a gng^{-1} konjugált mindegyiküknek eleme. Ám ekkor ezek metszetének, azaz N-nek is eleme a gng^{-1} konjugált. Ez viszont ismét a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy N is normálosztó G-ben.

∎