Bizonyítás
Tekintsünk egy olyan tetszőleges f csoporthomomorfizmust, amelynek képe T. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoport elemein van értelmezve, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg H egységelemét jelöljük e_H-val. Azt kell megmutatnunk, hogy T-re teljesülnek a 24.5. Tételben felsorolt tulajdonságok.
A 25.2. Lemma 1. pontja alapján f(e_X)=e_H, így tehát H egységeleme valóban benne van T-ben, és ezzel teljesül a 24.5. Tétel szerinti 2. tulajdonság.
Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ők az f szerinti képeik, azaz
A két egyenletet összeszorozva, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságát az alábbit kapjuk:
Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek az a\cdot b szorzat az f szerinti képe – nevezetesen x_a\cdot x_b. Minthogy f a T halmazba képez, emiatt az a\cdot b szorzat is benne van T-ben, ami így valóban zárt a szorzásra nézve. Teljesül tehát a 24.5. Tétel szerinti 1. tulajdonság is.
Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a az f szerinti képe, azaz
A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az inverzképzést is, így teljesül az alábbi:
Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek a^{-1} az f szerinti képe – nevezetesen x_a^{-1}. Emiatt a^{-1} is benne van T-ben, ami így zárt az inverzképzésre nézve is, azaz teljesül a 24.5. Tétel szerinti 3. tulajdonság is. Minthogy a 24.5. Tételben felsorolt minden tulajdonság teljesül, ezért T valóban részcsoport H-ban.
Visszafelé: Tegyük most fel, hogy T részcsoport H-ban. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan H-ba mutató csoporthomomorfizmus, amelynek képe T. Tekintsük például azt az f:T\to H függvényt, amely T minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan csoporthomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a T halmaz.
∎