Bizonyítás
Az 1. állítás: Ha L normálosztó H-ban, akkor a neki megfelelő K részcsoport a 25.13. Tétel 4. pontja alapján normálosztó G-ben. Ha K normálosztó G-ben, akkor a 25.13. Tétel 2. pontja alapján f(K) normálosztó H-ban, mivel f szürjektív. A 25.14. Tétel szerint viszont f(K)=L.
A 2. állítás: Tekintsük a G/K és a H/L faktorcsoportokat. Ezek elemei rendre a K és az L szerinti mellékosztályok. A közöttük lévő 25.15. Tétel szerinti k megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, ezért már csak azt kell megmutatni, hogy ez a megfeleltetés egyben művelettartó is a két faktorcsoport között.
Legyen tehát aK és bK két tetszőleges mellékosztály a G/K faktorcsoportban. Azt kell megmutatni, hogy az ő k szerinti megfelelőik szorzata a H/L faktorcsoportban ugyanaz, mint a G/K faktorcsoportban vett szorzatuk k szerinti megfelelője.
Az egyértelműség érdekében az alábbiakban a különböző csoportok műveleteit különböző szimbólumokkal jelöltük. Így \odot jelöli a G/K faktorcsoport, \boxdot a H/L faktorcsoport, \cdot a G csoport, végül \circ a H csoport szorzását:
Mindkét esetben azonos végeredményt kaptunk, tehát a k leképezés művelettartó, és így valóban egy izomorfizmus a G/K és H/L faktorcsoportok között.
∎