Bizonyítás
Előszöris megjegyezzük, hogy a 25.10. Következmény alapján \ker f normálosztó G-ben, így a bizonyítandó állításban szereplő csoportizomorfizmus baloldala a 25.9. Tétel szerint valóban egy csoport, nevezetesen a G/\ker f faktorcsoport. Igaz továbbá, hogy a 25.4. Tétel alapján \text{im} f részcsoport abban a csoportban, ahová f mutat, így a jobboldal is egy csoport. A
kifejezés tehát értelmes, mert tényleg egy csoportizomorfizmust jelöl. Most megmutatjuk, hogy ez a csoportizomorfizmus valóban fennáll a két csoport között.
Az átláthatóság érdekében vezessük be az N=\ker f jelölést. A G/N faktorcsoport elemei tehát az N – mint normálosztó – szerinti mellékosztályok. Ezek a 24.7. Tétel, valamint a 25.3. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan azokból a G-beli elemekből állnak, amelyeknek ugyanaz az f szerinti képe. Most megadunk egy
leképezést e faktorcsoport és az f csoporthomomorfizmus képe – azaz \text{im} f – között.
Ennek a leképezésnek az alábbi képletét a G csoport elemeinek és az f csoporthomomorfizmusnak a segítségével konstruáljuk meg. A képlet azt fejezi ki, hogy minden a elem esetén a g leképezés az a-t tartalmazó mellékosztályhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a célcsoportból – azaz \text{im} f-ből –, amelyet az f csoporthomomorfizmus is hozzárendel magához az a elemhez:
A 25.7. ábra mutatja a g leképezés iménti konstrukcióját.
Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely a és b elemek ugyanabban az N szerinti mellékosztályban vannak, akkor a 24.7. Tétel szerint az a^{-1}b szorzat benne van az N normálosztóban. Ez viszont ugye f magja, tehát a 25.3. Definíció utáni megjegyzés alapján ez épp azt jelenti, hogy az f szerinti képük megegyezik. Vagyis a g leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti mellékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.
Azt kell még igazolni, hogy a g leképezés bijektív, ami a 25.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy egyszerre injektív és szürjektív. Az injektivitáshoz azt kell megmutatnunk, hogy egymástól különböző mellékosztályok g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy a G csoport a és b elemei két egymástól különböző mellékosztályt reprezentálnak, ám e két mellékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz:
Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy:
De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy a és b mégis ugyanabban a mellékosztályban vannak. Tehát g valóban injektív.
Most igazoljuk a szürjektivitást. Ez a 25.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy a célcsoportban nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely mellékosztálynak a g leképezés szerint. Ez viszont természetesen teljesül, hiszen a célcsoport nem más, mint \text{im} f, azaz az f csoporthomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő h elemhez létezik olyan x elem a G csoportban, amelyre
teljesül. Ez az x elem viszont benne van az xN mellékosztályban, amelyhez a g leképezés épp a h elemet rendeli hozzá a célcsoportban. A g függvény tehát valóban szürjektív.
Végül g művelettartási tulajdonsága az őt definiáló képletből már könnyen adódik. Az alábbi levezetésben az eredeti G csoport műveletét egymás után írással, a G/N faktorcsoport műveletét a \odot, végül az \text{im} f célcsoport műveletét a \boxdot szimbólummal jelöltük:
∎