youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az első két halmazegyenlőség a 24.7. Tétel alapján épp azt jelenti, hogy a_1 és a_2, valamint b_1 és b_2 rendre ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban vannak. Ez a tételben bevezetett \sim relációval felírva az alábbit jelenti:

\begin{aligned} a_1 &\sim a_2 \\ b_1 &\sim b_2 \end{aligned}

A \sim reláció 24.7. Tételben szereplő definíciója alapján tehát:

\begin{aligned} a_1^{-1}a_2 &\in N \\ b_1^{-1}b_2 &\in N \end{aligned}

Azt szeretnénk igazolni, hogy

(a_1b_1)^{-1}\cdot (a_2b_2) \in N

is teljesül, ami tehát azt jelentené, hogy a_1b_1 \sim a_2b_2.

A 24.2. Tétel alapján

(a_1b_1)^{-1}\cdot (a_2b_2)=(b_1^{-1}a_1^{-1})\cdot (a_2b_2) = \ldots

E kifejezés értéke továbbá nem változik, ha a_2 és b_2 közé beszúrjuk a b_1b_1^{-1} szorzatot, hiszen ez épp a G csoport egységeleme. Így ezt kapjuk:

\ldots = (b_1^{-1}a_1^{-1})\cdot (a_2b_1b_1^{-1}b_2)= \ldots

A csoportművelet asszociativitása miatt ezt átzárójelezhetjük:

\ldots = (b_1^{-1}(a_1^{-1}a_2)b_1)\cdot (b_1^{-1}b_2) = \ldots

Továbbá átmenetileg vezessük be az n_a=a_1^{-1}a_2 és az n_b=b_1^{-1}b_2 jelöléseket. Ekkor:

\ldots = (b_1^{-1}n_ab_1)\cdot n_b

Erről szeretnénk tehát megmutatni, hogy benne van N-ben.

Azt már a bizonyítás elején láttuk, hogy az n_b tényező N-ben van. A b_1^{-1}n_ab_1 tényező pedig a 25.6. Definíció szerint nem más, mint az n_a elem b_1^{-1}-gyel vett konjugáltja. De a bizonyítás elején azt is láttuk, hogy n_a\in N. Mivel N normálosztó, és így zárt a konjugálásra, ezért:

b_1^{-1}n_ab_1 \in N

Minthogy mindkét tényező N-ben van, és N ugye részcsoport, ezért e tényezők szorzata – azaz lényegében (a_1b_1)^{-1}\cdot (a_2b_2) – is N-ben van. Teljesül tehát a 24.7. Tételben bevezetett a_1b_1\sim a_2b_2 reláció, azaz valóban:

(a_1b_1)N = (a_2b_2)N

∎