youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Nézzük elégségességet! Azaz tegyük fel, hogy RR-re teljesül a tételben említett mindkét feltétel, és mutassuk meg, hogy ekkor RR-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Az 1. feltétel azt jelenti, hogy akárhogyan is választunk ki valahány – akár végtelen sok – főideált RR-ben, azok között mindig lesz maximális elem a 19.7. Definíció szerinti értelemben. Tegyük fel továbbá indirekt, hogy ennek ellenére léteznek olyan, a nullelemtől és egységektől különböző elemek RR-ben, amelyek nem bonthatók fel felbonthatatlanok szorzatára a 16.16. Definíció szerinti értelemben. Minden ilyen hipotetikus elemhez készítsük el az általa generált főideált, és jelöljük R\mathcal{R}-rel az összes ilyen főideál halmazát. Az 1. feltétel miatt R\mathcal{R}-ben létezik maximális elem. Jelöljük ezt a főideált (m)(m)-mel, amely tehát az mm elemet és annak többszöröseit tartalmazza.

Az indirekt feltevésünk alapján ugye mm-nek nem létezik prímtényezős felbontása. Emiatt az mm elem maga nem lehet felbonthatatlan, máskülönben ő – a 16.16. Definíció értelmében – saját magának az egytényezős felbontása lenne. Mivel mm nem felbonthatatlan, ezért a 16.11. Definíció alapján ő felírható m=abm=ab alakban, méghozzá olymódon, hogy sem aa, sem pedig bb nem egység, és nem is asszociáltjai mm-nek. Ezt összevetve azzal, hogy teljesülnek az a∣ma|m és a b∣mb|m oszthatóságok, a 19.12. Tétel alapján fennállnak az (m)⊂(a)(m)\sub (a) és az (m)⊂(b)(m)\sub (b) szigorú tartalmazási relációk.

Mivel az (m)(m) főideálról azt mondtuk, hogy az R\mathcal{R} halmazrendszer maximális eleme, így sem az (a)(a), sem pedig a (b)(b) főideálok nem lehetnek elemei R\mathcal{R}-nek. Ezért nekik már létezik prímtényezős felbontásuk:

a=p1p2…pkb=q1q2…qn\begin{aligned} a&=p_1p_2\ldots p_k \\ b&=q_1q_2\ldots q_n \end{aligned}

Ám ekkor m=abm=ab miatt:

m=p1p2…pk⏟=a⋅q1q2…qn⏟=bm=\underbrace{p_1p_2\ldots p_k}_{=a}\cdot \underbrace{q_1q_2\ldots q_n}_{=b}

Ez épp mm-nek lenne egy prímtényezős felbontása, ami indirekt feltételezésünk szerint nem létezhetne. Ez ellentmondás, azaz mégiscsak minden nemnulla és nem egység elemenek létezik prímtényezős felbontása RR-ben. Továbbá a 2. feltétel miatt minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, ezért a 16.18. Tétel értelmében egy ilyen prímtényezős felbontás – a tényezők sorrendjétől és asszociáltságtól eltekintve – egyértelmű.

Most igazoljuk a szükségességet! Azaz tegyük fel, hogy RR-ben teljesül a számelmélet alaptétele, és mutassuk meg, hogy ebben az esetben a tételben említett feltételek is teljesülnek. Ha teljesül az alaptétel, akkor a 16.17. Tétel alapján minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, azaz teljesül a 2. feltétel, és így már csak az 1. feltételt kell igazolni. Tegyük fel indirekt, hogy nem teljesül az 1. feltétel, azaz létezik olyan főideálokból álló halmazrendszer RR fölött, amelyben nincs maximális elem a 19.7. Definíció szerinti értelemben.

Ezt vessük össze azzal, hogy a 19.6. Tétel alapján a ⊂\sub szigorú tartalmazási reláció tranzitív. Emiatt szükségképpen létezik olyan végtelen, főideálokból álló sorozat, amelyben minden főideál szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt:

(a1)⊂(a2)⊂(a3)⊂…(a_1)\sub (a_2)\sub (a_3)\sub \ldots

A 19.12. Tétel miatt az a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots elemek közül semelyik sem asszociáltja a sorozatban utána lévő elemnek, és mivel a 16.7. Tétel alapján az asszociáltság ekvivalenciareláció, ezért semelyik másiknak sem. Továbbá szintén a 19.12. Tétel miatt teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

a2∣a1a3∣a2a4∣a3⋮\begin{aligned} a_2&|a_1 \\ a_3&|a_2 \\ a_4&|a_3 \\ &\vdots \end{aligned}

Ezen túlmenően kijelenthetjük azt is, hogy egyrészt legkésőbb a2a_2-től kezdve a sorozat egyik tagja sem lehet a nullelem. Máskülönben ugyanis egy ilyen ai=0a_i=0 elem által generált (ai)(a_i) főideál csak a nullelemet tartalmazná, és így a 18.15. Tétel szerinti 3. tulajdonság miatt nem létezhetne a nála szűkebb (ai−1)(a_{i-1}) főideál. Másrészt az is igaz, hogy a sorozat egyetlen tagja sem lehet egység, máskülönben ugyanis az általa generált (ai)(a_i) főideál a teljes RR gyűrű lenne – hiszen a 16.3. Definíció alapján egy egységnek minden elem többszöröse –, és így nem létezhetne a nála bővebb (ai+1)(a_{i+1}) főideál.

Az a2a_2 tehát egy olyan elem, amely nem a nullelem és nem is egység, továbbá az oszthatóság tranzitivitása miatt végtelen sok olyan osztója van, amelyek közül egyik sem egység, és egyik sem asszociáltja a2a_2-nek. Így tehát a2a_2-nek nem létezik prímtényezős felbontása, ami viszont lehetetlen, hiszen azt mondtuk, hogy RR-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Csak az indirekt feltevésünk lehetett hibás, azaz bármilyen főideálokból álló halmazrendszernek szükségképpen létezik maximális eleme.

∎